Βοηθός επανάληψης Άλγεβρας Α’ Λυκείου

Έχοντας ολοκληρώσει την ύλη και οδεύοντας προς τις τελικές εξετάσεις, είναι απαραίτητη μια σωστή και αποδοτική επανάληψη σε όσα διδάχθηκες. Για να πετύχεις αυτά τα δύο, είναι απαραίτητο να έχεις έναν «χάρτη» όσων διδάχθηκες σε κάθε κεφάλαιο, να τα βάλεις σε σωστή σειρά και να δουλέψεις στοχευμένα.

Πώς, όμως, θα βάλεις σε μια σειρά και θα ξεκαθαρίσεις όσα έκανες;

Σε αυτό θέλω να σε βοηθήσω με το άρθρο που θα διαβάσεις, οπότε ας μην χάνουμε χρόνο.

Τα κεφάλαια που συνιστούν την ύλη της Άλγεβρας (και στην θεματολογία των οποίων εξετάζεσαι) είναι τα ακόλουθα:

1.  Εισαγωγικό κεφάλαιο:  Το λεξιλόγιο της Λογικής.

2.  Κεφάλαιο 2:  Οι πραγματικοί αριθμοί.

3.  Κεφάλαιο 3:  Εξισώσεις.

4.  Κεφάλαιο 4:  Ανισώσεις.

5.  Κεφάλαιο 5:  Πρόοδοι.

6.  Κεφάλαιο 6:  Βασικές έννοιες των συναρτήσεων.

Όχι και λίγα, ε; Ας τα πάρουμε με την σειρά και ας δούμε μαζί ποια στοιχεία από την θεωρία και ποια χαρακτηριστικά είδη ασκήσεων πρέπει να γνωρίζεις άριστα, για να γράψεις καλά στις εξετάσεις.

Από το κεφάλαιο αυτό πρέπει να γνωρίζεις καλά τα ακόλουθα στοιχεία της θεωρίας:

1.  το σύμβολο της συνεπαγωγής και πότε αυτό χρησιμοποιείται.

2.  το σύμβολο της ισοδυναμίας και πότε αυτό χρησιμοποιείται.

3.  πότε γράφουμε «ή», πότε γράφουμε «και» σε μια πρόταση.

4.  ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών και πώς παριστάνουμε ένα σύνολο.

5.  τα σύμβολα «ανήκει» και «δεν ανήκει».

6.  τις πράξεις που κάνουμε μεταξύ συνόλων.

Να γνωρίζεις άριστα:

1.  τις βασικές ταυτότητες της Άλγεβρας.

2.  τις ιδιότητες των δυνάμεων.

3.  τις ιδιότητες της διάταξης (ιδιότητες ανισοτήτων).

4.  τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής.

5.  τις ιδιότητες των ριζών (κυρίως των τετραγωνικών ριζών).

Τα ακόλουθα θέματα είναι τα πιο χαρακτηριστικά:

1.  πώς θα αποδείξεις ότι ισχύει μια ανισότητα, είτε αυτό ζητείται για κάθε πραγματική τιμή της μεταβλητής (ή των μεταβλητών) που υπάρχουν στην ανισότητα είτε για συγκεκριμένες τιμές.

2.  πώς θα βρεις μεταξύ ποιών τιμών περικλείονται οι τιμές μιας αλγεβρικής παράστασης (εδώ συνδυάζονται οι ιδιότητες της διάταξης πάνω σε μία ανισότητα, αλλά και μεταξύ δύο ανισοτήτων).

3.  πώς θα απλοποιήσεις μια παράσταση που έχει απόλυτη τιμή μέσα της (πώς θα γράψεις μια παράσταση χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής).

Είναι, ίσως, το πλέον χαρακτηριστικό θέμα ασκήσεων στις απόλυτες τιμές.

4.  πώς θα κάνεις πράξεις με ρίζες (κυρίως τετραγωνικές), αλλά και πώς θα απλοποιήσεις μια παράσταση, αριθμητική ή αλγεβρική, η οποία μέσα της έχει ρίζες (θέμα παρεμφερές με το «πώς θα κάνεις πράξεις με ρίζες»).

Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.

Nα γνωρίζεις άριστα:

1.  ό,τι αφορά την εξίσωση x^ν = α.

2.  όλα τα βασικά που αφορούν την διάσημη εξίσωση 2ου βαθμού:

α)  τον τύπο της διακρίνουσας Δ.

β)  τι προκύπτει αναλόγως του αποτελέσματος που δίνει η διακρίνουσα (δηλαδή, πότε έχει άνισες ρίζες, πότε έχει μία διπλή ρίζα, πότε είναι αδύνατη).

γ)  ποιος είναι ο τύπος που δίνει τις άνισες ρίζες της εξίσωσης, όταν είναι Δ>0.

δ)  ποιος είναι ο τύπος που δίνει την διπλή ρίζα, όταν είναι Δ=0.

3.  τους τύπους για το άθροισμα και για το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2ου βαθμού.

Tα ακόλουθα θέματα είναι τα πιο χαρακτηριστικά:

1.  πώς θα λύσεις παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού (διερεύνηση).

2.  πώς θα λύσεις εξίσωση με μία απόλυτη τιμή ή με δύο απόλυτες τιμές.

3.  πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση (εξίσωση με κλάσματα δηλαδή, τα οποία έχουν στον παρονομαστή τους παράσταση του αγνώστου).

4.  πώς θα λύσεις εξίσωση της μορφής x^ν = α (δηλαδή εξίσωση στην οποία υπάρχει μόνο μία δύναμη του αγνώστου και ένας σταθερός αριθμός).

5.  πώς θα λύσεις μια εξίσωση 2ου βαθμού με σταθερούς αριθμητικούς συντελεστές (όλες τις περιπτώσεις ως προς την μορφή της εξίσωσης, όχι μόνο αυτή που λύνεται με την βοήθεια της διακρίνουσας).

6.  πώς θα λύσεις μια εξίσωση 2ου βαθμού με παραμετρικούς συντελεστές (εδώ, η κύρια περίπτωση είναι να έχεις την «πλήρη» μορφή της εξίσωσης 2ου βαθμού).

7.  πώς θα βρεις την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια εξίσωση 2ου βαθμού:

α)  να έχει πραγματικές ρίζες.

β)  να έχει δύο άνισες ρίζες.

γ)  να έχει μία διπλή ρίζα.

δ)  να είναι αδύνατη (να μην έχει ρίζες).

8.  ποια σχέση πρέπει να γράψεις, όταν ζητείται να αποδείξεις ότι μια εξίσωση 2ου βαθμού:

α)  έχει πραγματικές ρίζες.

β)  έχει δύο άνισες ρίζες.

γ)  έχει μία διπλή ρίζα.

δ)  δεν έχει ρίζες (είναι αδύνατη).

9.  ποια σχέση πρέπει να γράψεις, όταν ξέρεις ότι/δίνεται ότι μια εξίσωση 2ου βαθμού:

α)  έχει πραγματικές ρίζες.

β)  έχει δύο άνισες ρίζες.

γ)  έχει μία διπλή ρίζα.

δ)  δεν έχει ρίζες (είναι αδύνατη).

10.  πώς θα κατασκευάσεις μια εξίσωση 2ου βαθμού, όταν είναι γνωστό το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της.

11.  πώς θα λύσεις μια διτετράγωνη εξίσωση.

Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.

Nα γνωρίζεις άριστα ό,τι έχει να κάνει με το πρόσημο ενός τριωνύμου.

Μάλιστα, αυτό είναι από τα πλέον βασικά θέματα στην Άλγεβρα (θα το βρεις πάρα πολλές φορές στον δρόμο σου στην Β’ Λυκείου και στην Γ’).

Nα γνωρίζεις άριστα:

1.  πώς θα λύσεις ανίσωση με απόλυτες τιμές.

2.  πώς θα λύσεις ανίσωση 2ου βαθμού (πάρα πολύ σημαντικό θέμα!).

3.  πώς θα βρεις το πρόσημο ενός τριωνύμου.

Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.

Nα γνωρίζεις καλά:

1.  τους ορισμούς της ακολουθίας, της αριθμητικής προόδου και της γεωμετρικής προόδου.

2.  τους τύπους που δίνουν τον ν-στό (γενικό) όρο μιας αριθμητικής προόδου και μιας γεωμετρικής προόδου.

3.  τις προτάσεις που αναφέρουν πότε τρεις αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και πότε γεωμετρικής προόδου.

4.  ποιος αριθμός λέγεται αριθμητικός μέσος δύο άλλων και ποιος λέγεται γεωμετρικός μέσος δύο άλλων.

5.  τους τύπους που δίνουν το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου και μιας γεωμετρικής προόδου.

Mελέτησε ξανά τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου στην παράγραφο της αριθμητικής προόδου και της γεωμετρικής προόδου, ειδικά αυτές της Α' ομάδας (είναι οι πλέον βασικές και αντιπροσωπευτικές).

Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.

Nα γνωρίζεις άριστα:

1.  τον ορισμό της συνάρτησης και τις βασικές έννοιες που τον συνοδεύουν.

2.  ποιες συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις διπλού τύπου/δίκλαδες και ποια βασικά στοιχεία αφορούν τέτοια συνάρτηση.

3.  πώς ορίζονται οι συντεταγμένες ενός σημείου του επιπέδου και άλλες βασικές συνοδευτικές έννοιες.

4.  τις συμμετρίες σημείων (ως προς τον άξονα x'x, ως προς τον άξονα y'y, ως προς την αρχή των αξόνων).

5.  τον τύπο που δίνει την απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο.

6.  τον ορισμό της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

7.  πώς ορίζεται η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα x'x και βασικές παρατηρήσεις που συνοδεύουν αυτήν την έννοια.

8.  πώς ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (κλίση μιας ευθείας).

9.  βασικές πληροφορίες για τις συναρτήσεις f(x) = αx + β και f(x) = αx.

10.  την συνάρτηση f(x) = |x|.

Nα γνωρίζεις άριστα τα ακόλουθα χαρακτηριστικότατα θέματα:

1.  πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης (και όταν αυτή είναι διπλού τύπου/δίκλαδη).

2.  πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τους άξονες x'x και y'y.

3.  πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω από τον άξονα x'x ή κάτω από τον x'x.

4.  πώς θα βρεις τα κοινά σημεία δύο γραφικών παραστάσεων.

5.  πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω από την γραφική παράσταση μιας άλλης συνάρτησης (ή πότε είναι κάτω από μια άλλη γραφική παράσταση).

6.  πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης με μια ευθεία.

7.  πώς θα βρεις τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω από μια ευθεία (ή πότε είναι κάτω από την ευθεία).

8.  πώς θα κάνεις/σχεδιάσεις την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β, της συνάρτησης f(x) = x και της συνάρτησης f(x) = |x|. Επίσης, πώς θα κάνεις την γραφική παράσταση συνάρτησης διπλού τύπου/δίκλαδης. Γενικώς δηλαδή, πώς θα σχεδιάσεις μια ευθεία.

9.  πώς θα βρεις την εξίσωση μιας ευθείας.

Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.

Στην επανάληψή σου, οπωσδήποτε θα πρέπει να συμπεριλάβεις και την εκ νέου μελέτη ασκήσεων που είδες στην Τράπεζα Θεμάτων!

•  Μην πιάσεις να τα ξαναλύσεις! Αδίκως θα χάσεις χρόνο και κόπο.

•  Μην δοκιμάσεις να μάθεις απ’ έξω ασκήσεις! Είναι αδύνατο, κανένας μας δεν μπορεί να το κάνει.

Στο 2ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι εύκολα (έως πολύ εύκολα πολλές φορές). Ξαναδές χαρακτηριστικές ασκήσεις, όπως αυτές είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο και ανά παράγραφο (μπορείς να δεις όλες τις ασκήσεις του 2ου θέματος της Τράπεζας εδώ).

Στο 4ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι πιο απαιτητικά, αν και μεγάλο μέρος των ζητούμενων στηρίζεται σε ό,τι είδες στις πλέον χαρακτηριστικές ασκήσεις ανά κεφάλαιο και παράγραφο καθ’ όλη την χρονιά. Θα ήταν πολύ καλό να ασχοληθείς με αρκετά τέτοια θέματα, καθώς οδεύεις προς την τελική ευθεία (δυστυχώς, το «Μαθηματικό στέκι» δεν μπορεί ακόμη να σε υποστηρίξει σε αυτό).

Συνοψίζοντας:

1.  ξαναδές προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, ιδιότητες, θεωρήματα, παρατηρήσεις).

Πάντα αυτή σε υποστηρίζει κατά την επίλυση μιας άσκησης (συνεργαζόμενη με την μεθοδολογία).

Όμως, στις εξετάσεις το πρώτο θέμα που θα αντιμετωπίσεις θα είναι το θέμα θεωρίας, στο οποίο οι καθηγητές στο σχολείο θα σου ζητήσουν να γράψεις την απόδειξη ενός θεωρήματος (σύνηθες) και να κρίνεις κάποιες προτάσεις αν είναι σωστές ή λανθασμένες (5 προτάσεις συνήθως).

Επομένως, το να γνωρίζεις καλά την θεωρία θα σε βοηθήσει να αντιμετωπίσεις το πρώτο θέμα στις εξετάσεις σου με επιτυχία.

2.  ξαναδές προσεκτικά την μεθοδολογία βασικών θεμάτων ασκήσεων.

Από τα 4 θέματα που θα έχεις να αντιμετωπίσεις στις εξετάσεις, τα 3 θα είναι ασκήσεις (θέματα Β, Γ και Δ). Όπως γνωρίζεις, τα θέματα Β και Δ θα προκύψουν με κλήρωση από την Τράπεζα Θεμάτων, ενώ το Γ θα το δημιουργήσουν οι καθηγητές του σχολείου σου.

Στην πλειονότητά τους, τα ζητούμενα που θα δεις στις εξετάσεις θα εμπίπτουν σε κάποια από τις χαρακτηριστικές ασκήσεις που είδες κατά την προετοιμασία σου.

3.  ξαναδές βασικές και χαρακτηριστικές ασκήσεις και ζητούμενά τους.

«Ξαναδές» σημαίνει μελέτησε ξανά προσεκτικά τις λύσεις τους. Μην πιάσεις να τις ξαναλύσεις, δεν έχεις χρόνο για ξόδεμα! Έχε από την μία την εκφώνηση της άσκησης και από την άλλη το τετράδιό σου με την λύση της. Αυτό είναι πολύ πιο αποδοτικό.

Ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και θέματα από την Τράπεζα με την οποία ασχολήθηκες (ελπίζω) με τον καθηγητή σου, είναι υπεραρκετά για την τελική ευθεία.

Εύχομαι να γράψεις καλά στις εξετάσεις σου!