Παράγωγοι Γ Λυκείου – Πώς θα κάνεις σωστή επανάληψη

Ανανεωμένη έκδοση άρθρου:  11 Απριλίου 2024

Όντας πολύ πλουσιότερο από το κεφάλαιο των ορίων, το κεφάλαιο του Διαφορικού Λογισμού θέλει πολύ πιο προσεκτική και εμπεριστατωμένη επανάληψη. Στο άρθρο αυτό θα διαβάσεις ποια σημεία πρέπει να προσέξεις πολύ.

Επειδή προηγείται σωστή οργάνωση όμως, απαραίτητο είναι να καταγράψω εν συντομία (πιο αναλυτικά μπορείς να τα διαβάσεις στο αντίστοιχο άρθρο για την σωστή επανάληψη στα όρια) τα πρώτα και απαραίτητα βήματα που πρέπει να κάνεις ώστε να οργανώσεις σωστά το μεγάλο αυτό κεφάλαιο.

Πώς να οργανώσεις σωστά την επανάληψη

1.  Χώρισε το κεφάλαιο σε επιμέρους ενότητες

Βασικό βήμα!

Το να χωρίσεις το κεφάλαιο σε μικρότερα κομμάτια είναι πολύ σημαντικό, διότι έτσι θα κάνεις την επανάληψή σου στοχευμένη, άρα αποδοτική.

Κάθε παράγραφος πραγματεύεται και ένα γενικό θέμα, το οποίο με την σειρά του περιλαμβάνει επιμέρους θέματα. Κατάγραψε ποιο είναι το γενικό θέμα και ποια τα επιμέρους.

2.  Βάλε την σωστή σειρά στην μελέτη κάθε παραγράφου

Η σωστή σειρά είναι η ακόλουθη:

Α.  Θεωρία

Πάντα και πρώτα να ξαναδιαβάζεις την θεωρία, προσεκτικά και με κάθε λεπτομέρεια όμως.

Β.  Κατηγορίες ασκήσεων - Μεθοδολογία ασκήσεων

Μετά να διαβάζεις και να γνωρίζεις καλά ποιες κατηγορίες και ομάδες ασκήσεων υπάρχουν στην παράγραφο, και την μεθοδολογία κάθε κατηγορίας και ομάδας.

Γ.  Λυμένες ασκήσεις

Στο τέλος να διαβάζεις επιλεγμένες λυμένες ασκήσεις, αλλά μην χάνεις πολύτιμο χρόνο και ενέργεια ξαναλύνοντας ασκήσεις οι οποίες είναι ήδη λυμένες!

Μελέτα προσεκτικά τις λύσεις και κράτα σημειώσεις, αν και όπου χρειαστεί.

Σε ποιες παραγράφους να χωρίσεις το κεφάλαιο

Στο βιβλίο που έχω γράψει για τον Διαφορικό Λογισμό (μπορείς να το διαβάσεις δωρεάν εδώ) έχω ήδη κάνει αυτόν τον διαχωρισμό για σένα. Οι παράγραφοί του θα σου δώσουν μια εξαιρετική οργάνωση για την επανάληψη του κεφαλαίου και θα μεγιστοποιήσουν την κατανόηση των θεμάτων του.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  1 - Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  2 - Παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Παράγωγος συνάρτηση. Κανόνες παραγώγισης.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  3 - Κανόνες του de l’ Hospital

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  4 - Ασύμπτωτες γραφικής παράστασης συνάρτησης

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  5 - Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  6 - Ρυθμός μεταβολής

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  7 - Θεώρημα του Rolle

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  8 - Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  9 - Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  10 - Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης 

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ  11  - Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης. Χάραξη γραφικής παράστασης.

Συνέχισε την ανάγνωση για να δεις αναλυτικά ποια θέματα υπάρχουν σε κάθε παράγραφο και τι πρέπει να ξεκαθαρίσεις κατά την επανάληψη που θα κάνεις.

Εναλλακτικά, πάτησε μόνο στην παράγραφο που σε ενδιαφέρει.

Ας δούμε, λοιπόν, ποια θέματα πρέπει να προσέξεις σε κάθε παράγραφο.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως ποια θέματα και πώς αντιμετωπίζονται με χρήση του ορισμού της παραγώγου σε σημείο.

Η παράγραφος αυτή δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες (άρα δεν χρειάζεται να αφιερώσεις πολύ χρόνο κατά την επανάληψη), αφού πρόκειται ουσιαστικά για επέκταση του κεφαλαίου των ορίων και οι ασκήσεις της αντιμετωπίζονται με όσες τεχνικές είδες στο κεφάλαιο των ορίων.

Τα θέματα της παραγράφου 1 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 1 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως:

1.  Τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων

Ειδικά όσες δεν είχες δει πολλές φορές στις ασκήσεις κατά την προετοιμασία σου (π.χ., την εφx, την σφx, την εκθετική α^x). Να ξέρεις όλες τις παραγώγους άριστα!

2.  Τους κανόνες παραγώγισης

Πρόσεξε περισσότερο πώς παραγωγίζεται σύνθετη συνάρτηση, ειδικά όταν:

α)  αυτή έχει μορφή f(x+1) , f(ημx) κ.τ.ό., δηλαδή πώς παραγωγίζεται «σύνθετο f».

β)  αυτή έχει μορφή lnf(x) , ημf(x) κ.λπ, δηλαδή πώς παραγωγίζεται βασική συνάρτηση η οποία μέσα της έχει f(x).

Και η παράγραφος αυτή δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες (άρα δεν χρειάζεται να αφιερώσεις πολύ χρόνο κατά την επανάληψη), αφού πρόκειται ουσιαστικά για τύπους και αλγεβρικές πράξεις (αυτό είναι η παραγώγιση).

Τα θέματα της παραγράφου 2 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 2 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως:

1.  Ότι οι κανόνες του de l’ Hospital αντιμετωπίζουν άμεσα τις απροσδιοριστίες «μηδέν διά μηδέν» και «άπειρο διά άπειρο» και μόνον αυτές.

2.  Ποιες άλλες απροσδιοριστίες αντιμετωπίζονται με τους κανόνες αυτούς και τι πρέπει να κάνεις στην συνάρτηση που είναι μέσα στο όριο, ώστε αυτό να λάβει απροσδιοριστία «0 διά 0» ή «άπειρο διά άπειρο».

Οι απροσδιοριστίες αυτές είναι οι:

α)  «συν άπειρο πλην άπειρο»,

β)  «μηδέν επί άπειρο»,

γ)  απροσδιοριστίες οι οποίες προκύπτουν από συναρτήσεις οι οποίες έχουν μορφή δύναμης, με βάση και εκθέτη παραστάσεις του x.

Επειδή η παράγραφος αυτή περιλαμβάνει τεχνικές υπολογισμού ορίων, εδώ έχεις ακόμη μία ευκαιρία να κάνεις το τελικό ξεκαθάρισμα και για τεχνικές που είδες στο κεφάλαιο των ορίων. Να το κάνεις, καλό είναι!

Τα θέματα της παραγράφου 3 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 3 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Εδώ, όλη η δουλειά γίνεται με τους ορισμούς των ασύμπτωτων και είναι καθαρά θέματα υπολογισμών ορίων, δηλαδή ό,τι είδες στο κεφάλαιο των ορίων και τους κανόνες de l’ Hospital.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως πώς θα βρεις τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης, δηλαδή ποια όρια πρέπει να υπολογίσεις και τι να απαντήσεις αναλόγως του αποτελέσματος.

Επίσης:

α)  όταν πρέπει να αποδείξεις ότι μια ευθεία είναι ασύμπτωτη, τότε ποιο όριο πρέπει να υπολογίσεις και τι αποτέλεσμα πρέπει να προκύψει.

β)  όταν ξέρεις ότι μια ευθεία είναι ασύμπτωτη, τότε ποιο όριο γνωρίζεις τι αποτέλεσμα δίνει και πώς θα το αξιοποιήσεις.

Τα θέματα της παραγράφου 4 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 4 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Σημαντική και αρκετά πλούσια σε θέματα παράγραφος του κεφαλαίου, η εφαπτομένη συχνά «χώνει την μύτη» της στα θέματα των υπόλοιπων παραγράφων.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, τις ασκήσεις να τις ταξινομήσεις στις παρακάτω ομάδες:

Ομάδα 1 - Πώς θα βρεις την εξίσωση της εφαπτομένης:

α)  όταν το σημείο επαφής είναι γνωστό (συγκεκριμένα, η τετμημένη του).

β)  όταν το σημείο επαφής δεν είναι γνωστό και δίνεται μια ιδιότητα που έχει η εφαπτομένη (π.χ., η ζητούμενη εφαπτομένη είναι παράλληλη ή κάθετη σε άλλη γνωστή ευθεία ή η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα x'x συγκεκριμένη γωνία κ.ά).

Υποομάδα αποτελεί η περίπτωση που ζητείται το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη έχει κάποια ιδιότητα. Η αντιμετώπιση είναι σχεδόν η ίδια με αυτήν της εύρεσης της εφαπτομένης, μόνο που η λύση σταματάει όταν βρεθεί το ζητούμενο σημείο.

Ομάδα 2 - Πώς θα βρεις τις τιμές παραμέτρων, ώστε η εφαπτομένη να έχει κάποια ιδιότητα.

Γενικώς από τα κλασικά θέματα ασκήσεων, όπως ήδη είδες και στα όρια. Εδώ, πώς το θέμα εύρεσης μιας παραμέτρου σχετίζεται με την εφαπτομένη.

Ομάδα 3 - Κοινή εφαπτομένη δύο γραφικών παραστάσεων.

Πολύ σημαντικό θέμα στην εφαπτομένη!

Οπωσδήποτε θυμήσου και ξεκαθάρισε τις συνθήκες που πρέπει να ισχύουν, ώστε:

α)  δύο γραφικές παραστάσεις να εφάπτονται ή να τέμνονται.

β)  η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης να εφάπτεται ή να τέμνει τον άξονα x'x.

γ)  η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης να εφάπτεται ή να τέμνει μια ευθεία.

Στην συνέχεια, θυμήσου και ξεκαθάρισε:

α)  Πώς θα βρεις την κοινή εφαπτομένη δύο γραφικών παραστάσεων.

β)  Τι κάνεις, όταν ξέρεις ότι δύο γραφικές παραστάσεις έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.

γ)  Το τελευταίο και πολύ σημαντικό θέμα, το οποίο είναι αυτό της επαφής μιας ευθείας με την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Τα θέματα της παραγράφου 5 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 5 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Για την ιδιόμορφη αυτή παράγραφο, καλύτερη ανάλυση από αυτήν που έκανε ο Θανάσης Νικολόπουλος στο ομότιτλο βιβλίο του δεν έχω δει μέχρι στιγμής.

Έπιασε κάθε θέμα που εμφανίζεται, τόσο στην θεωρία όσο και στις ασκήσεις, και το παρουσίασε με τον πλέον αναλυτικό τρόπο.

Μελετώντας το θα λύσεις κάθε σου απορία στα θέματα του ρυθμού μεταβολής!

Το εξαιρετικό βιβλίο του Θανάση Νικολόπουλου μπορείς να το μελετήσεις στην παράγραφο 6 του δωρεάν βιβλίου μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως ποια ζητούμενα ασκήσεων αντιμετωπίζονται με το θεώρημα του Rolle:

1.  Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα ανοικτό διάστημα.

2.  Πώς θα αποδείξεις ότι υπάρχει αριθμός ενός ανοικτού διαστήματος, ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση.

Οι περιπτώσεις 1 και 2 παρουσιάζουν ομοιότητα με τα αντίστοιχα θέματα που είδες στο θεώρημα του Bolzano, έχουν όμως και σημαντικές διαφορές, συχνά φανερές (από την μορφή της εξίσωσης -περίπτωση 1- ή της σχέσης την οποία πρέπει να ικανοποιεί ο ζητούμενος αριθμός -περίπτωση 2-, οι οποίες μέσα τους έχουν παράγωγο).

3.  Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα.

4.  Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα.

5.  Πώς θα δουλέψεις όταν στο ζητούμενο εμφανίζεται η δεύτερη παράγωγος.

Τα θέματα της παραγράφου 7 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 7 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως ποια ζητούμενα ασκήσεων αντιμετωπίζονται με το Θ.Μ.Τ. Τα πιο χαρακτηριστικά είναι τα ακόλουθα:

1.  Όταν, στα δεδομένα ή το ζητούμενο, υπάρχει (ή μπορεί να δημιουργηθεί) το πηλίκο που υπάρχει στο συμπέρασμα του Θ.Μ.Τ.

2.  Πώς θα δουλέψεις όταν ζητείται να δείξεις ότι υπάρχουν δύο αριθμοί σε ένα διάστημα, οι οποίοι ικανοποιούν μια σχέση (συνήθως με κάποια πράξη μεταξύ τιμών της παραγώγου).

Τα θέματα της παραγράφου 8 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 8 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως τα δύο κυρίαρχα θέματα της ενότητας:

1.  Πώς θα αποδείξεις ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή (και πώς θα το αξιοποιήσεις).

2.  Πώς θα βρεις τον τύπο μιας συνάρτησης:

α)  όταν έχεις τον τύπο της πρώτης παραγώγου (ή της δεύτερης, αν και το πρώτο είναι το σύνηθες).

β)  όταν έχεις μια σχέση στην οποία υπάρχει η f(x) και η πρώτη της παράγωγος (ή η δεύτερη, αν και το πρώτο είναι το σύνηθες).

Πρόσεξε πολύ την περίπτωση στην οποία η ζητούμενη συνάρτηση ορίζεται σε ένωση διαστημάτων!

Τα θέματα της παραγράφου 9 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 9 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Την μονοτονία και τα μάτια σου!

Αυτή είναι η πιο σημαντική και πλούσια παράγραφος του κεφαλαίου και τα θέματά της δεν λείπουν ποτέ από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις!

Η μονοτονία εφαρμόζεται σε πολλά (και πολύ σημαντικά!) θέματα στις ασκήσεις, δημιουργώντας εξαιρετικές συνδυαστικές ασκήσεις και θέματα εξετάσεων.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως:

1.  Πώς θα βρεις την μονοτονία και τα ακρότατα μιας συνάρτησης, όταν η πρώτη παράγωγος έχει σταθερό πρόσημο ή όταν μπορείς να βρεις το πρόσημό της με χρήση αλγεβρικών μόνο μεθόδων.

Πρόσεξε την περίπτωση κατά την οποία η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται μεν (συνήθως σε ένα σημείο), αλλά εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού της διατηρεί σταθερό πρόσημο (άρα η συνάρτηση διατηρεί σταθερή μονοτονία).

2.  Πώς θα αποδείξεις ότι ισχύει μια ανισότητα με παραστάσεις του x.

Βασικότατη εφαρμογή της μονοτονίας, η οποία επεκτείνει (και ολοκληρώνει) την μέθοδο εύρεσης της μονοτονίας μιας συνάρτησης.

Ο τρόπος με τον οποίο αποδεικνύουμε ότι ισχύει μια ανισότητα (πάντα μιλώντας με χρήση της μονοτονίας κατάλληλης συνάρτησης) εμπεριέχει τον τρόπο με τον οποίο βρίσκουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης, σε πολλές περιπτώσεις.

Επίσης, η μέθοδος που ακολουθούμε για να αποδείξουμε ότι ισχύει μια ανισότητα δείχνει ότι, όταν το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεν προκύπτει άμεσα ή με κάποια βασική αλγεβρική μέθοδο, τότε πάμε στην δεύτερη παράγωγο (ή και στην τρίτη, αν χρειαστεί).

3.  Πώς θα αποδείξεις άλλες μορφές ανισοτήτων με χρήση της μονοτονίας.

Να θυμάσαι: οι ανισότητες είναι από τα πιο χαρακτηριστικά θέματα της μονοτονίας!

4.  Πώς θα βρεις το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης.

Όχι και τόσο δύσκολο θέμα (αφού στηρίζεται στην μονοτονία και σε υπολογισμούς ορίων), αλλά πολύ σημαντικό, διότι το σύνολο τιμών σχετίζεται με θέματα εξισώσεων, ακροτάτων (σε αρκετές περιπτώσεις) ή και το πρόσημο μιας συνάρτησης ακόμη.

Θέμα που εδώ αξίζει να προσέξεις περισσότερο, είναι πώς θα βρεις την αντίστροφη μιας συνάρτησης.

5.  Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα, με την βοήθεια του συνόλου τιμών (και όχι μόνο).

6.  Πώς θα βρεις το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης (ή πώς θα δείξεις ότι έχει συγκεκριμένο πλήθος ριζών).

Και εδώ θα δεις πώς βοηθάει το σύνολο τιμών.

7.  Πώς θα λύσεις μια εξίσωση ή πώς θα λύσεις μια ανίσωση, η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με κλασικές αλγεβρικές μεθόδους.

Είναι αυτές που αποκαλώ «μπερδεμένες» εξισώσεις και ανισώσεις, δηλαδή οι όροι τους είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεων (π.χ. πολυώνυμα, εκθετικές, τριγωνομετρικές κ.λπ).

Επίσης, εδώ αξίζει να προσέξεις και το είδος εκείνο των εξισώσεων που είδες στο κεφάλαιο των ορίων (στο βιβλίο μου για τα όρια, δες ενότητα 1, παράγραφο 8, κατηγορία ασκήσεων 8), οι οποίες στηρίζονται στην ιδιότητα 1-1 μιας συνάρτησης.

8.  Θέματα που αντιμετωπίζονται με το θεώρημα του Fermat, όπως:

α)  πώς θα βρεις τις τιμές παραμέτρων, ώστε μια συνάρτηση να έχει ακρότατα σε συγκεκριμένες θέσεις.

β)  τι να κάνεις όταν δίνεται ότι ισχύει μια ανισοϊσότητα με παραστάσεις του x.

9.  Πώς θα βρεις τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης.

10.  Στις ασκήσεις επίσης να προσέξεις τα λεγόμενα «προβλήματα».

Για παράδειγμα, δίνεται ορθογώνιο χωράφι με γνωστό εμβαδόν και ζητείται να βρεθούν οι διαστάσεις του ώστε αυτό να έχει την ελάχιστη περίμετρο.

Τα θέματα της παραγράφου 10 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 10 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως:

1.  Πώς θα βρεις την κυρτότητα και τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης.

Η εργασία είναι ανάλογη αυτής της εύρεσης της μονοτονίας και των ακροτάτων.

2.  Πώς θα βρεις τις τιμές παραμέτρων, ώστε μια συνάρτηση να είναι κυρτή ή κοίλη ή να παρουσιάζει καμπή σε κάποιο σημείο.

Στα θέματα της κυρτότητας πρόσεξε πολύ την σύνδεσή της με την εφαπτομένη σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης: όταν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η εφαπτομένη είναι κάτω από την γραφική της παράσταση, ενώ όταν είναι κοίλη, τότε είναι πάνω από αυτήν.

Τα θέματα της παραγράφου 12 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην παράγραφο 12 στο δωρεάν βιβλίο μου.

Συνοψίζουμε - ανακεφαλαιώνουμε

«Να κάνετε επανάληψη», λέει ο καθηγητής.

«Εύκολα το λες. Πώς να κάνω επανάληψη; Τι να πρωτοδιαβάσω;», σκέφτεσαι εσύ.

Στο άρθρο που διάβασες σού έδωσα την κατεύθυνση την οποία πρέπει να ακολουθήσεις ώστε να κάνεις σωστή και αποδοτική επανάληψη.

1.  Χώρισε το κεφάλαιο σε επιμέρους παραγράφους. Δώσε τους τίτλους που σου πρότεινα.

2.  Η σωστή σειρά μελέτης των θεμάτων κάθε παραγράφου είναι η εξής:

α)  Μελέτα προσεκτικά την θεωρία και συγκράτησε λεπτομέρειες που έχει, τις οποίες είδες μέσω των ασκήσεων.

β)  Μάθε ποιες είναι οι κατηγορίες των ασκήσεων, ποια θέματα δηλαδή είδες στις ασκήσεις της σχετικής παραγράφου, και πώς αντιμετωπίζονται, ποια είναι η μεθοδολογία δηλαδή.

γ)  Μελέτα επιλεγμένες λυμένες ασκήσεις.

Μην τις ξαναλύνεις! Θα χάνεις πολύτιμο χρόνο και ενέργεια.

Εύχομαι να σε βοήθησα με τις κατευθύνσεις που έδωσα και κάθε σου εξέταση να είναι επιτυχής. Αν δεν προκύψει το αποτέλεσμα που αναμένεις όμως, μην το βάζεις κάτω. Αναπροσάρμοσε κάτι στον τρόπο που διαβάζεις, ίσως στον διαχωρισμό του κεφαλαίου αν κάπως αλλιώς σε βολεύει καλύτερα.

Θέλεις κάτι να ρωτήσεις; Ίσως να πεις την άποψή σου στο θέμα;

Θα χαρώ να δω την συμμετοχή σου στα σχόλια.