Γιατί η σχέση τόσων πολλών μαθητών με τα Μαθηματικά είναι κακή; Γίνεται να λυθεί το πρωταρχικό πρόβλημα, πώς διαβάζουμε Μαθηματικά; Μπορεί, τελικά, να βελτιωθεί η σχέση με τα Μαθηματικά;
Το κείμενο είχε αρχικά δημοσιευθεί στις 11-9-2015 υπό τον ίδιο τίτλο και υπότιτλο «Ο τρόπος προσέγγισής τους καθορίζει το πόσο "εύκολα" ή "δύσκολα" θα είναι».
Με την ανενέωση της ιστοσελίδας, ανανέωση υπέστη και το άρθρο.
Θα μιλήσουμε για τις αιτίες;
Είναι πολλές και δεν είναι σκοπός του άρθρου να ασχοληθεί με αυτές. Σκοπός του είναι να δώσει μερικές χρήσιμες συμβουλές και κατευθύνσεις, να σε βοηθήσει να καταλάβεις μερικά θεμελιώδη ζητήματα στα Μαθηματικά και να ξέρεις πού να εστιάσεις την προσοχή σου στην μελέτη.
Δυστυχώς για όσους δεν θέλουν ούτε στα μάτια τους να τα βλέπουν, η συμβίωση με τα Μαθηματικά λήγει στην Γ' Λυκείου, αν ακολουθήσουν καθαρά θεωρητικές σπουδές. Βέβαια, πολλοί δοκίμασαν την δυσάρεστη έκπληξη να τα έχουν και σε ένα μέρος των σπουδών τους στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, αλλά ας μην το πάω μέχρι εκεί.
Αν κάνουμε έναν πρώτο λογαριασμό επομένως,
6 χρόνια στο Δημοτικό + 3 χρόνια στο Γυμνάσιο + 2 χρόνια στο Λύκειο = 11 χρόνια Μαθηματικά!
Συγγνώμη, τι παραπάνω έχουν οι ταινίες τρόμου δηλαδή;
Γυμνάσιο: εδώ αρχίζει να δημιουργείται το πρόβλημα
Θα εξηγήσω αμέσως γιατί θεωρώ το Γυμνάσιο ως αρχή του προβλήματος και όχι το Δημοτικό.
Στο Δημοτικό τα παιδιά έρχονται σε επαφή με τα Μαθηματικά σε πρακτικό επίπεδο: γνωριμία με τους αριθμούς και τις βασικές πράξεις, προβλήματα Πρακτικής Αριθμητικής, δηλαδή προβλήματα -γενικώς- που μπορούν ακόμη και με τα χέρια τους να πιάσουν.
Οι αφηρημένες έννοιες (π.χ. εξισώσεις) τοποθετούνται σε πρακτικό επίπεδο («Αν 1 κιλό μήλα κοστίζουν 3 ευρώ, πόσα κιλά μήλα αγοράζουμε με 6 ευρώ;») και τα παιδιά αρχίζουν να θέτουν τις πρώτες βάσεις της αποκαλούμενης «μαθηματικής σκέψης».
Αν και δεν είναι ακριβώς «μαθηματική σκέψη» αυτό, χάριν των επόμενων θα συμφωνήσω. Με αυτά τα πρώτα προβλήματα στο Δημοτικό, αλλά και επειδή σαν βαθμίδα εκπαίδευσης -σημαντική φυσικά- δεν έχει τις απαιτήσεις (αλλά και το επίπεδο δυσκολίας) του Γυμνασίου και του Λυκείου, τα 6 χρόνια του Δημοτικού περνάνε χωρίς πολλές σκοτούρες για τα παιδιά (καλώς, αφού το αντίθετο θα επέφερε περισσότερα κακά απ' όσα καλά -θεωρητικά- θα δημιουργούσε).
Γιατί το Γυμνάσιο είναι η αρχή του προβλήματος όμως;
Διότι στο Γυμνάσιο υπάρχει πλήρης αλλαγή πλεύσης και το πρώτο ουσιαστικό «πολιτισμικό σοκ» των μαθητών.
Από την Πρακτική Αριθμητική πάνε στα Μαθηματικά, δηλαδή από το συγκεκριμένο πάνε στο αφηρημένο. Το πρόβλημα με τα μήλα πλέον αποτελεί ένα από τα παραδείγματα που δημιουργούνται για την εισαγωγή και μύηση του μαθητή στην έννοια της εξίσωσης, στην ζωή τους πλέον μπαίνει «ο άγνωστος x» (τον οποίο χρόνια θα κυνηγούν να βρουν), μαθαίνουν για Άλγεβρα και Γεωμετρία, μαθαίνουν ότι τα γράμματα παίζουν τον ρόλο αριθμών, μαθαίνουν για μεταβλητές και σταθερές, για... για... για... και το πάρτι αρχίζει.
Α' Γυμνασίου
Η Α' Γυμνασίου αποτελεί τάξη μετάβασης από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο και οι αφηρημένες έννοιες των Μαθηματικών εισάγονται «με το μαλακό». Ακόμη και έτσι όμως η πρώτη «κρυάδα» έρχεται, αφού η «αθωότητα» του Δημοτικού χάνεται και το παιχνίδι «χοντραίνει». Οι ασκήσεις για το σπίτι είναι πλέον πιο «ζόρικες», γράφονται τεστ και διαγωνίσματα, δίνονται βαθμοί (εντάξει, όχι ότι ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα τις περισσότερες φορές, αλλά ένα άγχος το δημιουργούν, όπως και να το κάνουμε), κάποιοι μαθητές ξεκινούν ακόμη και φροντιστήριο (κακώς).
Στην Α' Γυμνασίου δημιουργούνται οι πρώτες ρίζες του προβλήματος.
Β' Γυμνασίου
Στην Β' Γυμνασίου, το τέλος της εποχής της αθωότητας του Δημοτικού έχει ολοκληρωθεί. Η εποχή αυτή έκλεισε διά παντός με το πέρας των μαθημάτων της Α' Γυμνασίου και πλέον το μαθηματικό λεξιλόγιο εμπλουτίζεται με νέες λέξεις και εκφράσεις (εξίσωση, συντελεστής του αγνώστου, ανισότητες, Πυθαγόρειο Θεώρημα, Τριγωνομετρία κ.λπ).
Εδώ πλέον πράγματι μιλάμε για Μαθηματικά. Ταυτόχρονα όμως, εδώ αρχίζει και ριζώνει το πρόβλημα «Μαθηματικά».
Γ' Γυμνασίου
Η Γ' Γυμνασίου είναι η κρισιμότερη χρονιά των Μαθηματικών, αφού τότε τίθενται τα πραγματικά θεμέλια για την μετέπειτα πορεία στα Μαθηματικά, ειδικότερα στην Άλγεβρα. Οι ρίζες που ενδεχομένως δημιουργήθηκαν στην Β' Γυμνασίου, εδώ είτε μεγαλώνουν είτε κόβονται διά παντός. Τα θέματα που διδάσκονται είναι άκρως σημαντικά και απαιτείται πολλή εξάσκηση, ώστε να είναι σωστά προετοιμασμένο το έδαφος για την πορεία στο Λύκειο (και παραπέρα ακόμα).
Και; Τι κάνουμε γι’ αυτό;
Σε άλλο άρθρο αναφέρθηκα στα πολύ μεγάλα ποσοστά κακών βαθμολογιών στις πανελλήνιες εξετάσεις. Θεωρείται ότι αυτά είναι αποτέλεσμα των δύσκολων θεμάτων, της μεγάλης εξεταστέας ύλης της Γ' Λυκείου (που δεν είναι μεγάλη, αφού παλιότερα ήταν πολλαπλάσια και δυσκολότερη της σημερινής), του φορτωμένου προγράμματος των μαθητών (που δεν είναι κάτι νέο, αφού εδώ και δεκαετίες οι μαθητές έχουν πολλές υποχρεώσεις παράλληλα να εκπληρώσουν) και άλλων παραγόντων.
Ας συμφωνήσω στα παραπάνω χάριν της συζήτησης (που δεν συμφωνώ στο σύνολό τους, όπως είδατε από τις μικροενστάσεις που παρενθετικά κατέθεσα αλλά, εν πάση περιπτώσει, ας συμφωνήσω).
Ωραία, αυτό είναι το αποτέλεσμα. Το αίτιο ποιο είναι; Εντοπίζεται κάπου στον χρόνο, δηλαδή στην πορεία του μαθητή στα Μαθηματικά από το Γυμνάσιο έως και το Λύκειο ή φταίει μόνο η ύλη της Γ' Λυκείου, η δυσκολία των θεμάτων κ.λπ, κ.λπ;
Όπως είπα ήδη από την αρχή, σκοπός του άρθρου δεν είναι να ασχοληθεί με τις αιτίες του προβλήματος (χωρίς να τις απαξιώνω όμως, αφού το να ασχολείται κανείς με ένα πρόβλημα χωρίς να αναφέρεται στις αιτίες και να ψάχνει ή προτείνει λύσεις δεν είναι ούτε σωστό ούτε εποικοδομητικό).
Τι κάνουμε, επομένως;
Διάβασε την συνέχεια και θα δεις τι μπορούμε να κάνουμε γι’ αυτό.
Στα Μαθηματικά δεν διαβάζουμε απαραιτήτως ό,τι βλέπουμε
Μην θεωρήσεις ως προσωπική μου ανακάλυψη αυτό που θα διαβάσεις. Δεν είναι κάποια αλήθεια που μου ήρθε ως επιφοίτηση, ως όραμα κάποια στιγμή στην μέχρι τώρα πορεία μου και τώρα μοιράζομαι μαζί σου. Θα έχεις, φαντάζομαι, ακούσει ότι...
...τα Μαθηματικά είναι Γλώσσα!
Γλώσσα όπως τα ελληνικά, τα αγγλικά, τα κινέζικα (δεν τα επέλεξα τυχαία, αφού και τα Μαθηματικά, κινέζικα φαίνονται, ε;), που σημαίνει ότι έχουν το «αλφάβητό» τους, την «γραμματική» τους, το «συντακτικό» τους, την «προφορά» τους.
Το πρόβλημα στο «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;» δημιουργείται εδώ, δηλαδή στο τι βλέπεις και τι διαβάζεις. Θα δώσω μερικά απλά παραδείγματα για να γίνω κατανοητός. Το πως συνδέονται με τα Μαθηματικά, θα το δείξω μετά.
Τα αγγλικά είναι η πιο διαδεδομένη γλώσσα. Πέντε - έξι λέξεις ξέρουμε όλοι μας, γι' αυτό θα στηρίξω τα παραδείγματά μου σε αυτά.
Πρώτο παράδειγμα
Η λέξη «Wednesday» (Τετάρτη) διαβάζεται «γουένζντεϊ».
Γιατί δεν διαβάζουμε «γουίντνεζντεϊ», δηλαδή ό,τι βλέπουμε, τα γράμματα με την σειρά που τα βλέπουμε; Το «e» δεν διαβάζεται «ι», σύμφωνα με το αγγλικό αλφάβητο; Γιατί τονίζουμε στο «έ» (γουένζντεϊ);
Η απάντηση είναι απλή: διότι έτσι μας έμαθε ο καθηγητής των Αγγλικών ότι διαβάζεται στην αγγλική γλώσσα.
Δεύτερο παράδειγμα
Η λέξη «Sunday» (Κυριακή) διαβάζεται «σάντεϊ».
Γιατί δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ»; Το «u» δεν διαβάζεται «γιου»;
Η απάντηση είναι ακριβώς η ίδια με πριν.
Τώρα φανταστείτε να με ρωτήσει ένας τουρίστας (όχι απαραίτητα Άγγλος, αλλά να ξέρει πέντε αγγλικά) τι μέρα είναι σήμερα και να του απαντήσω «σγιούντεϊ». Νομίζετε ότι θα καταλάβει; Δεν νομίζω...
Τρίτο παράδειγμα
Ας βάλουμε και μια απλή φράση: «I want some water, please» (Θέλω λίγο νερό, παρακαλώ). Διαβάζεται «άι γουόντ σαμ γουότερ, πλιζ».
Να μην μπω στην διαδικασία να δώσω διάφορους «κορακίστικους» τρόπους ανάγνωσης. Θα κλαίμε όλοι από τα γέλια!
Πώς διαβάζουμε, τι διαβάζουμε στην γλώσσα των Μαθηματικών;
Τα παραδείγματα μπορούν να επεκταθούν και σε διάφορους συμβολισμούς που υπάρχουν στις γλώσσες, σε γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες κ.ο.κ. Ώρα είναι, όμως, να δούμε κάποιες αντιστοιχίες με την γλώσσα των Μαθηματικών, ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης και ποιος ο λανθασμένος.
Εικόνα 1
Εικόνα 2
Στις εικόνες 1 και 2 είναι γραμμένες δύο από τις βασικότερες και πιο γνωστές ταυτότητες της Άλγεβρας. Ένα σύνολο συμβόλων, που έχουν τον τρόπο τους να διαβάζονται:
«Παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο, παρένθεση, ίσον άλφα στο τετράγωνο συν δύο άλφα βήτα συν βήτα στο τετράγωνο».
Το διάβασες, εντάξει. Κατάλαβες όμως τι είπες; Κατάλαβες πού θα κολλήσει αυτό σε κάποια άσκηση και πώς θα σε βοηθήσει; Αν δεν κατάλαβες τι στην ουσία είπες και πώς αυτό θα το αξιοποιήσεις σε κάποια άσκηση, τότε να ποιο είναι το πρόβλημα.
Ποιος είναι ο σωστός τρόπος ανάγνωσης; Να ποιος:
«Όταν εντός παρένθεσης έχω ένα άθροισμα, τότε συνεχίζω παίρνοντας το τετράγωνο του πρώτου, συν το τετράγωνο του δεύτερου, συν το γινόμενό τους διπλασιασμένο».
Δηλαδή ο παραπάνω τύπος δεν είναι απλώς μια αλληλουχία μαθηματικών συμβόλων· είναι οδηγίες χρήσης!
Επαναφέρω την λέξη «Sunday» (Κυριακή):
διαβάζοντας «σάντεϊ» (το σωστό), αμέσως στο μυαλό έρχεται η λέξη «Κυριακή». Αν, όμως, διαβάσω «σγιούντεϊ», τότε είναι σαν να διαβάζω την παραπάνω ταυτότητα «παρένθεση, άλφα συν βήτα στο τετράγωνο...»... δεν βγαίνει νόημα σε καμία περίπτωση.
Κάθε γλώσσα, όπως είναι γνωστό, έχει τις ιδιοτροπίες της, κάποιους ειδικούς κανόνες δηλαδή, που δεν συναντώνται απαραιτήτως σε άλλες (ή όλες τις) γλώσσες.
Τα Μαθηματικά έχουν την εξής ιδιοτροπία: μπορούν και διαβάζονται και ανάποδα. Όταν όμως γίνει αυτό, το συμπέρασμα που προκύπτει δεν είναι πάντα το ίδιο μ' αυτό που προκύπτει από την «κανονική» ανάγνωση.
Τι σημαίνει «κανονική» και τι «ανάποδη» ανάγνωση;
Δεν είναι κάποιοι επίσημοι μαθηματικοί όροι, δεν είναι καν μαθηματικοί όροι, δεν υπάρχει στην επίσημη γλώσσα των Μαθηματικών «αυτό διαβάζεται κανονικά έτσι και ανάποδα έτσι». Αν υπάρχουν αυτές οι λέξεις θα είναι εντός εισαγωγικών, ακριβώς για να δειχθεί ότι πρόκειται για (συγχωρήστε μου την λέξη) «μπακάλικο» τρόπο ανάγνωσης (δεν χρησιμοποιώ αυτήν την λέξη υποτιμητικά προς τους μπακάληδες, προς Θεού).
«Κανονική» γραφή - ανάγνωση είναι όταν την διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά, όπως δηλαδή και τα κείμενα στις περισσότερες γλώσσες του κόσμου.
«Ανάποδη» γραφή - ανάγνωση είναι όταν διαβάζουμε πρώτα αυτό που είναι γραμμένο μετά το "=" και και μετά αυτό που είναι πριν το "=" (το γνωστό «αριστερό» και «δεξί» μέλος της ισότητας ή το «πρώτο» και το «δεύτερο» μέλος της).
Εικόνα 3
Εικόνα 4
Στις δύο εικόνες 3 και 4 γράφτηκαν οι ίδιες ταυτότητες, αλλά «από την ανάποδη». Για να μην ξοδέψουμε περισσότερο χώρο και χρόνο για το πώς θα διαβαστεί, απλώς θα πω ότι διαβάζεται όπως και η «κανονική», δηλαδή «άλφα στο τετράγωνο... κ.λπ».
Λάθος!
Τόσο η «κανονική» όσο και η «ανάποδη» ανάγνωση είναι λανθασμένες. Όπως η λέξη «Sunday» δεν διαβάζεται «σγιούντεϊ», έτσι και αυτή η ταυτότητα δεν διαβάζεται όπως παραπάνω σημειώθηκε.
Και πώς διαβάζεται; Να πώς:
«Όταν έχουμε άθροισμα δύο τετραγώνων συν το διπλάσιο γινόμενο των βάσεων των τετραγώνων, τότε αυτό ισούται με το άθροισμα των βάσεων υψωμένο στο τετράγωνο».
Πάλι για οδηγίες χρήσης πρόκειται, όχι για μια αλληλουχία συμβόλων, που διαβάζονται σύμφωνα με το «αλφάβητο» των Μαθηματικών.
Εικόνα 5
Εικόνα 6
Ένα ακόμη παράδειγμα θα χρησιμοποιήσω, στηριζόμενος στις εικόνες 5 και 6.
Πρόκειται για μία από τις πλέον συνηθισμένες ιδιότητες των δυνάμεων που εφαρμόζονται κατά τις πράξεις, αλλά και πάλι υπάρχει ο σωστός και ο λανθασμένος τρόπος ανάγνωσης. Μια και αναφέρθηκε ο «κανονικός» και ο «ανάποδος» τρόπος γραφής και ανάγνωσης, έγραψα την ιδιότητα και με τους δύο τρόπους.
Για να μην κουράσω περισσότερο, η ιδιότητα αυτή διαβάζεται:
Εικόνα 5: αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει πλην, τότε αυτό το πλην φεύγει.
Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αριθμούς. Τότε η σωστή ανάγνωση συμπληρώνεται με την φράση «και το τετράγωνο πάει στον αριθμό».
Εικόνα 6: αν στην βάση ενός τετραγώνου υπάρχει συν, τότε μπορώ να βάλω στην βάση πλην.
Ο καλύτερος τρόπος ανάγνωσης (άρα και αξιοποίησης της ιδιότητας) είναι ο εξής:
επειδή οι παραστάσεις -α και α λέγονται αντίθετες, διαβάζουμε «δύο αντίθετες παραστάσεις έχουν ίσα τετράγωνα» ή «στην βάση ενός τετραγώνου μπορώ να βάλω την αντίθετη παράσταση».
Αυτός ο τρόπος ανάγνωσης και αξιοποίησης της ιδιότητας είναι καλός, όταν έχουμε να κάνουμε με αλγεβρικές παραστάσεις και όχι μόνο με αριθμούς.
Συνοψίζουμε - μαθαίνουμε
Έχουν το «αλφάβητο», την «γραμματική» και το «συντακτικό» τους. Πρόσεχε τον καθηγητή σου όταν σου μαθαίνει σωστά αυτήν την γλώσσα και συνειδητοποίησε νωρίς ότι μαθαίνεις μια νέα γλώσσα, με τους κανόνες και τις ιδιοτροπίες της.
Τα Μαθηματικά δεν είναι x και y και τετράγωνα και ρίζες · είναι πολλά περισσότερα.
Διαβάζοντας με λανθασμένο τρόπο, τα Μαθηματικά γίνονται δύσκολα και, εν τέλει, ακατανόητα. Το ίδιο θα γίνονταν και τα αγγλικά, αν τα διάβαζες όπως ήθελες. Το αποτέλεσμα θα ήταν μια προσωπική γλώσσα, κορακίστικη, άρα ακαταλαβίστικη από τους υπόλοιπους. Το συμπέρασμα του βιβλικού μύθου του Πύργου της Βαβέλ είναι ακριβώς αυτό.
Έτσι, όταν δεις έναν τύπο των Μαθηματικών γραμμένο με έναν τρόπο, μπες στον κόπο να τον γράψ’ τον «από την ανάποδη». Όταν ο καθηγητής σού εξηγεί κάτι τέτοιο, πρόσεχε πολύ.
Ζήτα το αυτό από τον καθηγητή σου, να σου το γράψει από την «καλή» και από την «ανάποδη», να στο εξηγήσει και «κανονικά» και «ανάποδα», αν δεν το κάνει ήδη (που είμαι βέβαιος ότι το κάνει, δεν υπάρχει περίπτωση).
Ένας τύπος των Μαθηματικών, μια ιδιότητα, ένας ορισμός, δεν λέει μόνο ένα πράγμα και αυτό συμβαίνει σε πάρα πολύ μεγάλο ποσοστό. Μπορεί να πει και δύο και τρία και τέσσερα πράγματα. Ζήτα να τα μαθαίνεις αυτά ή, όταν σου τα εξηγούν, να τα προσέχεις πολύ.
Η διά ζώσης διδασκαλία είναι αναντικατάστατη!
Η διδασκαλία στην αίθουσα συνιστά τουλάχιστον το 80% της διαδικασίας κατανόησης και εκμάθησης των Μαθηματικών (και όχι μόνο φυσικά). Η σχέση με τα Μαθηματικά αρχίζει και χαλάει όταν δεν είσαι συγκεντρωμένος και δεν παρακολουθείς με προσοχή ό,τι λέει ο καθηγητής των Μαθηματικών.
Ο οποίος αποτελεί την καρδιά της διδασκαλίας και δεν αντικαθίσταται από κανένα βιβλίο, κανένα φυλλάδιο, κανένα βίντεο. Η διά ζώσης διδασκαλία είναι απλώς αναντικατάστατη!
Να μερικοί λόγοι:
- 1Όταν ο καθηγητής είναι στον πίνακα και εξηγεί το μάθημα, όταν λύνει μία άσκηση ή όταν απαντάει σε μια απορία, είναι πάνω σε μια φανταστική θεατρική σκηνή και ερμηνεύει έναν ρόλο. Όχι όμως όπως γνωρίζουμε την ηθοποιία, δηλαδή δεν υποκρίνεται ότι είναι κάποιος χαρακτήρας σε ένα σενάριο. Είναι ο εαυτός του και προσπαθεί να μεταδώσει τις γνώσεις του. Χρησιμοποιεί τα χέρια του όχι μόνο για να γράφει, όσο για να υποδεικνύει, να τονίζει, να δείχνει τον βηματισμό, να κρατάει τον ρυθμό. Μπορεί κανείς να πει ότι είναι και ο μαέστρος της «ορχήστρας» των μαθηματικών οργάνων της άσκησης. Χρησιμοποιεί τον Λόγο, χρωματίζει την φωνή του («Προσέξτε το αυτό», για παράδειγμα), κάνει παύσεις, σε κοιτάει στα μάτια για να δει αν τον παρακολουθείς, αν καταλαβαίνεις αυτά λέει.
- 2Την ώρα που λύνει μια άσκηση, παρακολούθα προσεκτικά τον συγχρονισμό στον λόγο και την γραφή του. Την στιγμή που θα πει «Και εδώ κάνουμε αυτό», στην λέξη «εδώ» το χέρι του είναι στο σημείο που πρέπει να δεις. Αν εκείνη την στιγμή δεν παρακολουθείς, αυτό το «εδώ» έχει χαθεί και εσύ δεν θα καταλαβαίνεις μετά.
- 3Την ώρα που λέει «Και από εδώ προκύπτει αυτό», το χέρι του έχει υποδείξει ποιο είναι το «από εδώ» και ποιο είναι το «προκύπτει αυτό». Αν δεν τον βλέπεις, χάνεις εκείνη την πολύτιμη εξήγησή του, που αργότερα μπορεί να γίνει πρόβλημα. Όταν θα πεις «Δεν την κατάλαβα την άσκηση» ή «Δεν κατάλαβα πώς το κάνατε αυτό», σκέψου ότι αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν τον έβλεπες ή δεν τον παρακολουθούσες με προσοχή την ώρα που αυτός εξηγούσε.
Και τα βιβλία;
Όσο καλογραμμένο και αν είναι ένα βιβλίο, δεν μπορεί να μεταφέρει ό,τι διδάσκεται στην αίθουσα. Οι προφορικές εξηγήσεις δεν μπορούν να μεταφερθούν -αυτούσιες ή προσαρμοσμένες- σε ένα βιβλίο. Γιατί;
Διότι, αν αυτό ήταν εφικτό, τα βιβλία θα είχαν πολλαπλάσιο όγκο. Αν θέλεις, δοκίμασε το εξής: μετάφερε στο χαρτί 3 λεπτά ομιλίας. Θα εκπλαγείς από την έκταση του κειμένου.
Διότι ο καθηγητής δεν χρησιμοποιεί τα ίδια λόγια σε κάθε μάθημα. Ακόμη και όταν εξηγεί το ίδιο θέμα (θεωρία, μεθοδολογία ή άσκηση) σε διαφορετική ομάδα μαθητών, ακόμη και σε διαφορετικό μαθητή σε κατ' ιδίαν μάθημα, το σύνηθες είναι να χρησιμοποιεί άλλα λόγια, αφού πολλές φορές η παρουσίαση προσαρμόζεται ζωντανά κατά το μάθημα λόγω κάποιας απορίας.
Γι' αυτό να προτιμάς πρώτα να βλέπεις τι κάνει ο καθηγητής, τι γράφει στον πίνακα και όλες τις εξηγήσεις που δίνει και μετά να γράφεις στο τετράδιό σου. Να του ζητάς να δίνει μετά χρόνο να μεταφέρεις στο τετράδιό σου ό,τι έγραψε στον πίνακα. Τότε θα δεις πόσο θα βελτιώσεις την σχέση σου με τα Μαθηματικά, πόσο καλύτερα θα τα καταλαβαίνεις και πώς η δυσκολία τους θα γίνεται μικρότερη.
Δεν νομίζω να υπάρχει καθηγητής που θα πει «Τα Μαθηματικά είναι εύκολα». Όμως, σίγουρα θα πει «Είμαι εδώ για να βοηθήσω όπως μπορώ καλύτερα, για να τα κάνω κατανοητά, για να μην σας φαίνονται τόσο δύσκολα».
Θαρρείς ότι οι καθηγητές τα ξέρουμε όλα; Θαρρείς ότι εμείς δεν συναντούμε δυσκολίες στα Μαθηματικά;
Φυσικά και δεν τα ξέρουμε όλα, φυσικά και εξακολουθούμε να συναντούμε δυσκολίες. Είναι ανθρώπινο.
Ποιο πρόβλημα αντιμετωπίζεις όταν διαβάζεις Μαθηματικά;
Πώς πιστεύεις ότι οι καθηγητές θα μπορούσαμε να σε βοηθήσουμε περισσότερο; Έχεις να προτείνεις κάτι;
Θα ήθελα να διαβάσω την άποψή σου στα σχόλια.
Στο δεύτερο μέρος της ανάλυσης αυτού του μεγάλου και σημαντικού θέματος θα διαβάσεις πώς θα συνεχίσεις την μελέτη των Μαθηματικών, όταν μείνεις μόνος με το «θηρίο».
Ενώ καταλαβαίνω καλά το τι διαβάζω με αυτά τα <>, είτε είναι παράγωγος είτε ολοκλήρωμα είτε σειρά κλπ, όταν πάω να το λύσω τότε κολλάω απίστευτα και δεν προχωράω στην σωστή λύση ή και γενικά στην λύση. Με κυριεύει φόβος και ανασφάλεια. Αυτό πως μπορώ να το λύσω ή αντιμετωπίσω; Ευχαριστώ.
Με εξάσκηση! Επίσης, με την κατάλληλη καθοδήγηση ενός έμπειρου καθηγητή, αλλά και ενός καλογραμμένου βιβλίου, το οποίο να περιλαμβάνει αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία, αλλά και μπόλικες λυμένες ασκήσεις. Αυτά μπορούν να βοηθήσουν στην αντιμετώπιση του φόβου και της ανασφάλειας.
Όμως, υπάρχει και η παράμετρος της προσωπικής σας στάσης στο θέμα: δεν παίρνουμε κεφάλια στα Μαθηματικά! Το να πειραματιστούμε, να κάνουμε λάθη, δεν είναι κακό. Τουναντίον -και σε συνδυασμό με όσα προανέφερα- μπορεί να αποτελέσει εποικοδομητικό τρόπο εργασίας, ο οποίος θα αρχίσει να αποδίδει καρπούς.
Το τελευταίο είναι και ένα ακόμη από τα συστατικά της επιτυχούς αντιμετώπισης των Μαθηματικών: το ζευγάρι «επιμονή – υπομονή» (ή και με την σειρά «υπομονή – επιμονή»).
Είμαι μεγάλος πια. Ενώ ξεκίνησα καλά από το Δημοτικό, μετά την Τρίτη Γυμνασίου τα πάντα γύρισαν ανάποδα. Τελικά πήρα απολυτήριο Λυκείου με μαθηματικά 10. Τώρα θέλω να μάθω Μαθηματικά αλλά στο Διαδίκτυο δεν υπάρχει μια συνέχεια και ξαφνικά αφού φτάνεις κάπου σταματάς. Δεν το συζητάμε να πάω με τους πιτσιρικάδες σε φροντιστήρια βέβαια. Η προσπάθεια συνεχίζεται από πείσμα πλέον.
Συμφωνώ με τον τρόπο που παρουσιάζετε τη δυσκολία στα Μαθηματικά, αλλά έχω να παρατηρήσω ότι, ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν συνεπάγεται ότι μπορεί και να τα διδάξει. Αυτό ισχύει σε όλα τα μαθήματα απλά στα μαθηματικά όπως αναφέρεται και εσείς υπάρχει το ΑΦΗΡΗΜΈΝΟ, και νομίζω ότι εκεί χρειάζεται και μια διαφοροποίηση στο τρόπο διδασκαλίας. Ευχαριστώ.
Επίσης άλλο ένα παράδειγμα λάθος ανάγνωσης – κατανόησης είναι και ο ορισμός της αφαίρεσης: α-β = α+(-β) που πολλά παιδιά το διαβάζουν απλά -β και όχι “αντίθετος του δεύτερου” οπότε κάνουν πολλά λάθη σε πρόσημα και τελικά ΔΕΝ κατανοούν τι πράξη είναι ουσιαστικά η αφαίρεση.
Έχετε δίκιο. Η Άλγεβρα παρέχει άπειρα παραδείγματα για τον σωστό τρόπο ανάγνωσης των συμβολισμών και προτάσεών της, αλλά και των προβλημάτων που προκύπτουν από την εσφαλμένη ανάγνωση.
Σας ευχαριστώ για την συμμετοχή στα σχόλια 🙂
Το πρόβλημα θεωρώ ότι έχει ως ρίζα το τι ζητάμε τελικά από το μαθητή. Θυμάμαι, εδώ και χρόνια, ως οδηγία στη διδασκαλία όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και άλλων συναφών μαθημάτων, να μην επικεντρωνόμαστε στους ορισμούς, αξιώματα, θεωρήματα κλπ αλλά επιφανειακά (όπως λέω) και τελικά δεν κατανοούν τις δομές, που φυσικά τους δυσκολεύει στο Λύκειο.