Πώς διαβάζω Μαθηματικά; (Μέρος Β)


Στο δεύτερο μέρος της ανάλυσης αυτού του σημαντικού θέματος θα διαβάσεις πολύ χρήσιμες συμβουλές που θα σε βοηθήσουν να βελτιώσεις τις επιδόσεις σου. Τις συμβουλές αυτές θα σου δώσω μέσα από την 20ετή μου εμπειρία στην διδασκαλία των Μαθηματικών.

Το κείμενο είχε αρχικά δημοσιευθεί στις 18-9-2015 υπό τον ίδιο τίτλο και υπότιτλο «Ο τρόπος προσέγγισής τους καθορίζει το πόσο "εύκολα" ή "δύσκολα" θα είναι».

Με την ανενέωση της ιστοσελίδας, ανανέωση υπέστη και το άρθρο.

Στο πρώτο μέρος αναφέρθηκαν τα πρώτα λάθη που γίνονται και τα οποία συνοψίζονται σε δύο σημεία:

Α.  όταν δεν προσέχεις την ώρα που ο καθηγητής εξηγεί κάποιο θέμα (θεωρία ή άσκηση)

Β.  όταν διαβάζεις με λανθασμένο τρόπο τα μαθηματικά κείμενα και συμβολισμούς

Αυτά γίνονται πριν επιστρέψεις στο σπίτι σου (το Α), αλλά και σαν μείνεις μόνος με το «θηρίο» (το Β).

Πώς θα αντιμετωπίσεις το «θηρίο» χωρίς την παρουσία του καθηγητή;

Αυτό είναι το θέμα του δεύτερου μέρους της ανάλυσης «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;».

Γιούπιιιι! Τέλος το σχολείο για σήμερα!

Η πιο χαρούμενη στιγμή στην ημέρα ενός μαθητή;

Θα έλεγα πως σίγουρα είναι (σε παγκόσμιο επίπεδο). 

Στις μικρότερες ηλικίες (Δημοτικό), σημαίνει την αρχή άλλων δραστηριοτήτων, σαφώς πιο ευχάριστων. Όμως, όπως αναφέρθηκε στο πρώτο μέρος αυτής της ανάλυσης, η προσοχή μας εστιάζεται στους μαθητές Γυμνασίου (οπότε και δημιουργείται το πρώτο ρήγμα στην σχέση τους με τα Μαθηματικά) και, κατ' επέκταση, στους μαθητές Λυκείου.

Ούτε στο δεύτερο μέρος της ανάλυσης υπάρχει σκοπός απόδοσης ευθυνών. Θα επισημανθούν τα λάθη που γίνονται και πώς αυτά μπορούν να προληφθούν και να διορθωθούν.

Τι κάνουμε μετά το σχολείο;

Στο Γυμνάσιο -και πάντα μιλώντας για τα Μαθηματικά- αρχίζει να χτίζεται μια νέα πραγματικότητα: ασκήσεις για το σπίτι, ενδεχομένως και φροντιστήρια (άρα και από εκεί ασκήσεις), μελέτη πιο δύσκολων θεμάτων σε σχέση με το Δημοτικό και άλλα. Σίγουρα όχι ό,τι καλύτερο για κάποιον που είναι στην εφηβεία, αφού άλλα θέλει να κάνει (π.χ. αθλητισμό, μουσική, παρέα με τους φίλους του) και όχι να ψάχνει τον άγνωστο x.

Καλώς ή κακώς όμως, τα πράγματα έτσι αρχίζουν και διαμορφώνονται, με μέρες γεμάτες από το πρωί ως το βράδυ με ποικίλες δραστηριότητες και υποχρεώσεις, οπότε ας δούμε τι πρέπει να κάνεις για να ανταποκριθείς σωστά σε ένα τόσο φορτωμένο πρόγραμμα.

Πρώτο βήμα:  ολιγόωρη ξεκούραση και αποτοξίνωση από τα μαθήματα

Μετά από μια μέρα γεμάτη πληροφορίες από διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα, είναι αναγκαία μια σύντομη παύση για ανασύνταξη των δυνάμεων. Αν αυτή δεν είναι εφικτή με το πέρας των σχολικών μαθημάτων (π.χ. λόγω κάποιου φροντιστηρίου αμέσως μετά το τέλος του σχολείου), η ξεκούραση αναβάλλεται για λίγο.

Ας πάρουμε το ευνοϊκό σενάριο: μετά το σχολείο δεν υπάρχει άμεσα κάποια υποχρέωση.

Δεδομένου ότι θα χαζολογήσεις λίγο με τους συμμαθητές σου μετά το σχολείο (ουδέν μεμπτόν φυσικά), θα χάσεις κάποιον χρόνο και κατά την επιστροφή στο σπίτι (π.χ. στο λεωφορείο), ένα μέρος αυτής της ολιγόωρης ξεκούρασης έχει γίνει...

...αλλά δεν είναι αρκετή. Το μεσημεριανό φαγητό είναι μία ακόμη όμορφη στιγμή της μέρας, αλλά και αυτή περνάει γρήγορα (ειδικά όταν υπάρχει το αγαπημένο σου φαγητό στο τραπέζι).

Να μην δεις και τι γίνεται στο Instagram; (όχι ότι δεν το έβλεπες κατά την διάρκεια της μέρας φυσικά...) Ίσως και λίγη τηλεόραση παράλληλα; Γιατί όχι και μουσική;

Μακάρι να συνεχίζονταν αυτό για το υπόλοιπο της μέρας, αλλά δεν μπορεί. Όλα όσα προανέφερα διαρκούν το λιγότερο μία ώρα (θα έβαζα μιάμιση ώρα τουλάχιστον). Ο χρόνος είναι υπεραρκετός και πλέον πρέπει να σηκώσεις τα μανίκια και να ξαναπιάσεις δουλειά.

Στην περίπτωση του μη ευνοϊκού σεναρίου τώρα: μετά το σχολείο υπάρχει άλλο μάθημα (π.χ. φροντιστήριο, ωδείο, αθλητισμός).

Όπως προείπα, η ξεκούραση αναβάλλεται. Αν δε υπάρχουν διαδοχικές υποχρεώσεις, ίσως να αργήσει ακόμη περισσότερο.

Τι γίνεται τότε; Αυτό θα φανεί στο 2ο βήμα.

Δεύτερο βήμα:  ορθή κατανομή χρόνου και ενέργειας

Είναι αυτό που ονομάζουμε «προγραμματισμό».

Εντάξει, παίρνεις πρόγραμμα από το σχολείο, παίρνεις πρόγραμμα από τις εξωσχολικές σου δραστηριότητες, άρα έχεις μπει σε πρόγραμμα.

Όχι, δεν έχεις μπει!

Έχεις δεσμεύσει (ή μάλλον, άλλοι σού έχουν δεσμεύσει) κάποιες ώρες της ημέρας, αλλά δεν έχεις μπει ακόμη σε πρόγραμμα, δεν έχεις κάνει προγραμματισμό δηλαδή.

Το να πεις «Μέχρι τις 2 έχω σχολείο, 2-4 έχω Μαθηματικά στο φροντιστήριο, 4:30-6 έχω αγγλικά» και πάει λέγοντας, δεν είναι προγραμματισμός. Δεν έχεις πιάσει ακόμη να κατανείμεις ορθά τον χρόνο και την ενέργειά σου.

Προγραμματισμός σημαίνει πώς θα αξιοποιηθούν οι «κενές ώρες», δηλαδή οι ώρες που δεν υπάρχει κάποια εξωσχολική υποχρέωση. Πόση ώρα θα ξεκουραστώ, τι θα κάνω 4-6 που δεν έχω κάποιο μάθημα, με ποια σειρά θα διαβάσω και θα προετοιμαστώ για την επόμενη μέρα, τι ώρα θα κοιμηθώ.

Επειδή το πρόγραμμα Δευτέρας - Παρασκευής είναι -σχεδόν πάντα- φορτωμένο, ο σωστός προγραμματισμός ξεκινάει από το Σάββατο και την Κυριακή.

Ίσως σού προκαλεί έκπληξη αυτό που λέω, οπότε ας εξηγήσω γιατί θεωρώ ότι τότε είναι η αρχή του σωστού προγραμματισμού. Βέβαια, το 1ο και 2ο βήμα δεν αφορούν άμεσα τα Μαθηματικά και ίσως ψάχνεις ανάμεσα στις γραμμές, πού εδώ απαντάται το ερώτημα «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;». Λίγη υπομονή και θα φτάσουμε και σ' αυτό.

Το Σαββατοκύριακο υπάρχει περισσότερος διαθέσιμος χρόνος. Όσος από αυτόν δεν αξιοποιείται σωστά, τόσο πιο πιεστικό γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας. Ανάλογα, όσος περισσότερος αξιοποιηθεί σωστά, τόσο ελαφρύτερο γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας.

Για να μην τρέχεις λοιπόν και να μην προλαβαίνεις, αξιοποίησε σωστά τις ώρες που παρέχει το διήμερο αυτό (για μένα είναι το χρυσό διήμερο του σωστού προγραμματισμού). Μάλιστα, αν το κάνεις αυτό από την αρχή της σχολικής χρονιάς, θα δεις -με ευχάριστη έκπληξη- πώς το πενθήμερο Δευτέρα - Παρασκευή δεν θα σου είναι τόσο κουραστικό.

Προετοιμάσου για τις υποχρεώσεις σου μέχρι και την Τετάρτη. Ναι, μπορείς να το κάνεις αυτό μέσα στο Σαββατοκύριακο. Τουλάχιστον για τις σχολικές σου υποχρεώσεις, πιστεύω ότι μπορείς άνετα να το κάνεις.

Πώς είμαι τόσο σίγουρος; Το κατάφεραν πολλοί πριν από σένα· είχαν και αυτοί τις δικές τους εξωσχολικές υποχρεώσεις (ή και περισσότερες), μπορείς και εσύ!

Πρόσεξε το εξής όμως: η βόλτα του σαββατόβραδου είναι και αυτή μέσα στο πρόγραμμα (διαφωνώ με όσους την αφαιρούν), αλλά με μέτρο.

Αν γυρίσεις ξημερώματα στο σπίτι, πάει η μισή Κυριακή (τουλάχιστον), οπότε χαλάει ο προγραμματισμός. Εντάξει, καμιά φορά θα το τραβήξεις λίγο παραπάνω. «Καμιά φορά» όμως, όχι «κάθε φορά». Αν την Κυριακή ξυπνήσεις στις 12, για κάνα δίωρο θα είσαι ακόμη σαν ζαλισμένο κοτόπουλο, οπότε πάει η δεύτερη χρυσή μέρα.

Θα κλείσω την αναφορά μου στον σωστό προγραμματισμό, με το εξής:

είτε πρόκειται για την μελέτη Δευτέρας - Παρασκευής είτε για το Σαββατοκύριακο, ξεκίνα από τα «δύσκολα» μαθήματα και μετά συνέχισε με τα «εύκολα» (τα εισαγωγικά μπήκαν, διότι οι χαρακτηρισμοί είναι υποκειμενικοί).

Σε ό,τι αφορά τα Μαθηματικά (για να αρχίσουμε σιγά σιγά να προσεγγίζουμε το θέμα μας), βάλ’ τα σαν πρώτο ή δεύτερο μάθημα που θα μελετήσεις.

Ο λόγος είναι «ενεργειακός»:

ξεκινώντας το διάβασμα με ένα «εύκολο» μάθημα, ναι μεν δεν συναντάς δυσκολίες, καταναλώνεις πολύτιμη ενέργεια όμως. Αν αυτό το συνεχίσεις και σε δεύτερο «εύκολο» μάθημα (με το σκεπτικό «να τελειώνουμε πρώτα με τα εύκολα»), τότε η κόπωση αυξάνεται (να μην ξεχνάς και την κόπωση όλης της μέρας, έτσι;), οπότε όταν έρθει η ώρα για τα «δύσκολα» (στην προκειμένη περίπτωση, τα Μαθηματικά), δεν έχεις δύναμη και είτε θα τα παρατήσεις είτε θα τα «πασαλείψεις».

Η στιγμή που έρχεσαι αντιμέτωπος με το «θηρίο»

Και έτσι ερχόμαστε στο ψητό.

Η σωστή προετοιμασία είναι ένα κλειδί που θα ανοίξει πολλές πόρτες. Αφού έχουν γίνει όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, η ώρα που έρχεσαι αντιμέτωπος με το «θηρίο» έφτασε.

«Έχω πάρει τις ανάσες μου, έχω κάνει καλό προγραμματισμό, τώρα πρέπει να διαβάσω Μαθηματικά, να τα καταλάβω και να λύσω ασκήσεις. Πώς θα γίνει αυτό;».

Όχι με κάποιον μαγικό τρόπο. Κάθε μάθημα έχει τα «κουμπιά» του, έχει τον σωστό τρόπο προσέγγισής του, έχει το σκεπτικό του. Πολύ περισσότερο τα Μαθηματικά.

Η σειρά που θα δεις στην συνέχεια είναι αυτή που φέρνει τα καλύτερα αποτελέσματα. Τήρησέ την, άφησε την να δουλέψει για κάποιο χρονικό διάστημα και απόλαυσε μετά τα θετικά της αποτελέσματα.

1.  Διάβαζε προσεκτικά την θεωρία, τις παρατηρήσεις και εξηγήσεις και τα συνοδευτικά παραδείγματα

Δεν γίνεται να ασχοληθείς σωστά με τα Μαθηματικά, αν πρώτα δεν δημιουργήσεις γερές βάσεις στην θεωρία.

Όπως αναφέρθηκε στο πρώτο μέρος της ανάλυσης αυτής όμως, δεν διαβάζουμε απαραιτήτως ό,τι βλέπουμε. Ο καθηγητής εξηγεί πώς διαβάζεται στην μαθηματική γλώσσα κάτι που αναφέρει η θεωρία και πώς αυτό αξιοποιείται. Αυτό ακριβώς είναι που πρέπει να προσέχεις πολύ την ώρα του μαθήματος ώστε, όταν μείνεις μόνος σου με το βιβλίο και το τετράδιο, να θυμάσαι τις εξηγήσεις που έδωσε ο καθηγητής σου.

Είτε πρόκειται για το σχολικό βιβλίο είτε για εξωσχολικό βιβλίο είτε για φυλλάδια σημειώσεων που παίρνεις από τον καθηγητή ή βρίσκεις στο διαδίκτυο, έχεις υποστήριξη σε εξηγήσεις για όσα θα διαβάσεις.

Διάβαζέ τα προσεκτικά! Τα Μαθηματικά δεν διαβάζονται σαν αθλητική εφημερίδα, περιοδικό μόδας, δεν «σκρολάρουμε» όπως στο Facebook ή το Instagram. Αν τα προσεγγίσεις έτσι, θα τα χάσεις σίγουρα.

Επειδή σε ελάχιστες περιπτώσεις η μελέτη στηρίζεται μόνο στο σχολικό βιβλίο, να θυμάσαι ότι ο καθηγητής σού δίνει επιπλέον σημειώσεις για έναν και μόνο λόγο: για να έχεις βοήθεια όταν μείνεις μόνος σου και ασχοληθείς με όσα σού διδάσκει.

Όλα αυτά τα φυλλάδια που λαμβάνεις από τον καθηγητή σου ή από το διαδίκτυο, δεν είναι ούτε εύκολη ούτε γρήγορη εργασία. Ο καθηγητής που το δημιουργεί δεν θα δώσει τέτοιο συνοδευτικό υλικό με σκοπό να σε βασανίσει. Εκμεταλλεύσου την παροχή αυτής της βοήθειας διότι δίνεται για δικό σου καλό. Μέσω αυτών ο καθηγητής προσπαθεί να είναι δίπλα σου ακόμη και μετά το πέρας του μαθήματος στην αίθουσα.

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία των ασκήσεων

Κάποιοι συνάδελφοι ίσως έχουν ενστάσεις ως προς αυτό που αποκαλείται «μεθοδολογία». Δεν είναι του παρόντος να πούμε τα υπέρ και τα κατά του θέματος «μεθοδολογίες». Είτε συμφωνούμε είτε διαφωνούμε, μεθοδολογία για τις ασκήσεις δίνεται, υπάρχει. Είτε πούμε «κατευθύνσεις για τις ασκήσεις» είτε «μεθοδολογία», η ουσία είναι η ίδια πάνω - κάτω.

Σε έναν πολύ σημαντικό βαθμό, η μεθοδολογία είναι το «λυσάρι» των ασκήσεων. Δεν είναι λίγες οι ασκήσεις εκείνες που έχουν σταθερό θέμα (ζητούμενο, δεδομένο ή και τα δύο) και η αντιμετώπισή τους γίνεται με συγκεκριμένα βήματα. Έτσι, καταλαβαίνοντας κανείς τα βήματα αυτά (και όχι απλώς μαθαίνοντας ή αποστηθίζοντάς τα -αυτό δεν προσφέρει μακροπρόθεσμη βοήθεια), θέτει καλά θεμέλια στα Μαθηματικά.

Άλλες φορές η μεθοδολογία χαράσσει έναν βασικό δρόμο για την αντιμετώπιση κάποιων ασκήσεων, αφήνοντας μερικά «παραθυράκια» όμως. Καλή η μεθοδολογία, αλλά δεν μπορεί να μαντρώσει όλες τις ασκήσεις, όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Μόνο ο Αίολος είχε το προνόμιο να τιθασεύει τους ανέμους και να τους κρατά κλεισμένος στον ασκό του.

Η μεθοδολογία συνήθως διατυπώνεται, «Όταν ζητείται αυτό, τότε κάνουμε αυτό και μετά αυτό και μετά αυτό...». Άλλες φορές, «Όταν δίνεται αυτό, τότε κάνουμε αυτό και αυτό...».

Για να απαλύνω το κάπως βαρύ κλίμα της κατήχησης που υπάρχει στο άρθρο, δες την μεθοδολογία σαν «Συμβουλές επιβίωσης στην μάχη με το θηρίο». Αφού πρέπει να παλέψεις με το «θηρίο», να μην έχεις και μερικά όπλα στα χέρια σου; Να μην ξέρεις πώς να το προσεγγίσεις για να το νικήσεις ή -τελοσπάντων- να σταθείς επάξια έναντί του;

Το θέλεις ακόμη πιο απλά; Μερικά θέματα στις ασκήσεις στηρίζονται σε συγκεκριμένα βήματα: τα κάνεις προσεκτικά ένα προς ένα και λύνεις την άσκηση. Θα ένιωθες άσχημα αν τα έκανες και έλυνες και μια και δυο και περισσότερες ασκήσεις; Δεν νομίζω!

3.  Διάβαζε προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις

Με όποιον τρόπο και αν τις δεις, δηλαδή λυμένες από τον καθηγητή σου, σε κάποιο βιβλίο ή φυλλάδιο, οι λυμένες ασκήσεις προσφέρουν πολύ σημαντική βοήθεια και είναι κρίμα να την αφήνεις αναξιοποίητη.

Δεν θα ήταν υπερβολή αν έλεγα ότι είναι αμαρτία να την αφήνεις αναξιοποίητη τέτοια βοήθεια! Ειδικά με τον δυνατό σου σύμμαχο, το διαδίκτυο, πράγματι είναι αμαρτία να μην βελτιώνεις σημαντικά τις επιδόσεις σου στα Μαθηματικά με τόσες λυμένες ασκήσεις που μπορείς να βρεις. Σε αυτό το άρθρο θα δεις προτάσεις για το πώς θα αξιοποιήσεις σωστά την βοήθεια που υπάρχει δωρεάν στο διαδίκτυο.

Οι λυμένες ασκήσεις είναι πολυτιμότατες στην μελέτη των Μαθηματικών!

Δεν συνιστώ να τις ξαναλύνεις (μην ανησυχείς και από άλυτες ασκήσεις... να φαν' κι οι κότες), διότι χάνεις χρόνο και ενέργεια. Μελετώντας τις λύσεις μπορείς να εφοδιαστείς με πολλά και πολύ χρήσιμα στοιχεία και να τα αξιοποιήσεις στις ασκήσεις που εσύ θα πιάσεις μετά να λύσεις.

Ο σωστός τρόπος να μελετάς λυμένες ασκήσεις

Για να αποκομίσεις το μέγιστο όφελος από την μελέτη μιας λυμένης άσκησης, ακολούθησε τα παρακάτω στάδια:

Πρώτο στάδιο

Διάβασε προσεκτικά τι διατυπώνεται στην άσκηση, ποιο είναι το ζητούμενο (πρωτίστως), ποια είναι τα δεδομένα (δευτερευόντως). Πάνω από το 80% των ασκήσεων λύνονται με βάση το τι ζητείται και όχι το τι δίνεται.

Δεύτερο στάδιο

Παρακολούθησε και κατάλαβε τα βήματα της λύσης στην λυμένη άσκηση.

Αν δεν εξηγείται τι γίνεται και γιατί, γράψε κάπου την απορία σου και ρώτα τον καθηγητή σου. Αν καταλαβαίνεις τι και γιατί γίνεται, ακόμη καλύτερα. Σε αυτό το στάδιο μελέτης της λύσης μην δίνεις μεγάλη βαρύτητα στο πώς ακριβώς παρουσιάζεται η λύση, αλλά στα βήματά της.

Τρίτο στάδιο

Αφού έχεις ολοκληρώσει την πρώτη ανάγνωση της λύσης (πρώτο και δεύτερο στάδιο), ξαναδιάβασε την.

Αυτήν την φορά όμως επαναλαμβάνοντας και διακρίνοντας νοερά τα βήματά της («Από εδώ μέχρι εδώ κάνουμε αυτό, μετά κάνουμε αυτό» κ.ο.κ.) και δίνοντας περισσότερη προσοχή και βαρύτητα στις διατυπώσεις (εκφράσεις, αιτιολογήσεις) που υπάρχουν, διότι έτσι (κατά προσέγγιση, τουλάχιστον) θα πρέπει να την παρουσιάσεις και εσύ.

Το θέμα δεν είναι απλώς να ξέρεις πώς λύνεται η άσκηση, αλλά και πώς διατυπώνεται η λύση της, που είναι η σκέψη μας, τα βήματα στην ουσία.

Είναι εντελώς λανθασμένη η αντίληψη ότι «τα Μαθηματικά είναι x και y: άμα ξέρεις να δουλεύεις με x και y, το 'χεις». Όχι βέβαια!

Η αλήθεια είναι εντελώς διαφορετική, αλλά αυτό δίνει τροφή για ένα άλλο άρθρο ίσως, στο οποίο θα αναπτυχθεί η φιλοσοφία των Μαθηματικών.

Πώς να αντιμετωπίζεις σωστά τις ασκήσεις

Μαθηματικά χωρίς ασκήσεις, δεν νοούνται. Η κατάληξη όλων των παραπάνω είναι η ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων.

Ασκήσεις δεν μπορεί κανένας να σε υποχρεώσει να λύσεις. Όμως όσο τις αποφεύγεις, τόσο χειρότερα γίνονται τα πράγματα και, αν αυτό μέχρι κάποιο σημείο δεν σε «καίει» και τόσο, έρχεται η στιγμή -ναι, για τις εξετάσεις μιλάω- που θα σε καίει και σε τσουρουφλίζει.

Ο καθηγητής δίνει ασκήσεις όχι επειδή θέλει να σε κουράσει - ταλαιπωρήσει (ακόμη και βασανίσει, όπως κακώς πιστεύετε οι μαθητές πολλές φορές), αλλά επειδή μόνο μέσω της εξάσκησης θα γίνεις καλύτερος.

Δες το κι έτσι:

γιατί όλοι οι αθλητές επενδύουν άπειρες ώρες σε προπονήσεις; Αφού ο αγώνας θα διαρκέσει μερικά λεπτά (ή και δευτερόλεπτα, αν πρόκειται για δρομείς μικρών αποστάσεων για παράδειγμα), γιατί νωρίτερα χύνουν τόνους ιδρώτα στις προπονήσεις; Αφού ο αθλητής είναι καλός και την νίκη την έχει σίγουρη, γιατί τόσος κόπος πριν τον αγώνα;

Μήπως διότι η νίκη ποτέ δεν είναι σίγουρη; Μήπως επειδή στις προπονήσεις (ασκήσεις λέγονται στα Μαθηματικά) πάντα εντοπίζονται λάθη που ίσως την κρίσιμη στιγμή (αγώνας) αποβούν μοιραία; Ειδικά στα ατομικά αθλήματα, τα λάθη δεν μπορούν να σωθούν από κάποιο μέλος της ομάδας, αφού δεν υφίσταται ομάδα. Ένας κάνει το λάθος, ένας επωμίζεται την ήττα. Ένας δούλεψε σωστά και σκληρά, ένας γεύεται την νίκη.

Έτσι είναι και οι ασκήσεις στο ατομικό άθλημα των Μαθηματικών. Αυτός είναι ο σκοπός τους και γι' αυτό σας δίνουμε ασκήσεις.

Στους μαθητές μου λέω:

«Θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα κερδίσεις, είτε είναι σωστές είτε έχουν λάθη. Μάθε από αυτά που έκανες σωστά, μάθε ακόμη περισσότερα από αυτά που δεν έκανες σωστά.

Δεν θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα χάσεις διότι δεν θα μάθεις και, την κρίσιμη ώρα, σίγουρα δεν θα ανταποκριθείς στα θέματα.

Ασκήσεις δεν αναθέτω για να σε βασανίσω, αλλά για να σε βοηθήσω να βελτιωθείς».

Λάθη που πρέπει -και μπορείς- να αποφύγεις

Επειδή όσα αναφέρθηκαν μέχρι στιγμής, αλλά και στο πρώτο μέρος του άρθρου, έχουν ως κατάληξη την ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων, αναγκαίο είναι να επισημάνω κάποια σημαντικά λάθη που γίνονται και πώς αυτά μπορείς να τα αποφύγεις.

Πρώτο λάθος:  Ελλειπής προετοιμασία (ή καθόλου προετοιμασία)

Σχεδόν το σύνολο της έκτασης και των δύο μερών της ανάλυσης «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;» αφιερώθηκε στην σωστή προετοιμασία. Όταν αυτή δεν γίνεται ή «πασαλείβεται», το αποτέλεσμα από την ενασχόληση με τις ασκήσεις είναι προδιαγεγραμμένο (μην το πω, το καταλαβαίνεις).

Η προετοιμασία είναι το πιο σημαντικό μέρος και πρέπει να εκτελείται με σοβαρότητα από όλους:

από τους καλούς μαθητές (ώστε να αποδώσουν αυτά που μπορούν και να γίνουν ακόμη καλύτεροι) και τους αδύναμους μαθητές (ώστε να βελτιώσουν τις επιδόσεις τους και να γίνουν καλύτεροι επίσης).

Αν, χάριν της «υποχρεώσης», πας κατευθείαν να λύσεις ασκήσεις, χωρίς να προετοιμαστείς σωστά, μην απογοητευθείς από το αποτέλεσμα. Νομοτελειακά, ξέρουμε ποιο θα είναι.

  • Πώς διορθώνεται το πρώτο λάθος

Κατάλληλη προετοιμασία, με βάση όσα προαναφέρθηκαν.

Δεύτερο λάθος:  Αντιμετωπίζοντας τις ασκήσεις σαν αγγαρεία

Το είπα παραπάνω, το επαναλαμβάνω και εδώ διότι έχει αξία:

οι ασκήσεις δεν είναι υποχρεωτικές, αφού κανένας δεν μπορεί να σε υποχρεώσει να λύσεις ασκήσεις. 

Οι καθηγητές δεν δίνουμε ασκήσεις για να σε βασανίσουμε, αλλά για να βελτιωθείς. Όσο δεν ασχολείσαι με ασκήσεις, τόσο χειρότερα για σένα.

Ασκήσεις πρέπει ο ίδιος να επιδιώκεις να κάνεις και να δίνεις στον καθηγητή σου να ελέγξει. Ξέρω ότι αυτό ακούγεται (μάλλον είναι) ουτοπικό, αλλά αν το κάνεις μόνο κέρδος θα έχεις.

Όταν ο καθηγητής δεν δίνει ασκήσεις, αυτό δεν πρέπει να σημαίνει λούφα για σένα, μα το ακριβώς αντίθετο: περισσότερος χρόνος για την σωστή προετοιμασία. «Δεν έχω ασκήσεις» δεν σημαίνει «Δεν έχω τίποτα να κάνω». Έχεις και παραέχεις! Στα Μαθηματικά δεν υπάρχει «Δεν έχω τίποτα να κάνω». Πάντα έχεις κάτι να κάνεις.

  • Πώς διορθώνεται το δεύτερο λάθος

Ασκήσεις κάνεις για δικό σου καλό. Το πόσο εύκολα ή δύσκολα θα σου βγουν οι λύσεις εξαρτάται και από την θετική σου στάση. Αυτό είναι θέμα ψυχολογίας και ο καθηγητής μπορεί ελάχιστα να βοηθήσει αν υψώσεις τείχος και το υπερασπίζεσαι με σθένος. Το τείχος αυτό δεν σε προστατεύει· κάνει το αντίθετο στην πραγματικότητα.

Τρίτο λάθος:  Διαβάζοντας την εκφώνηση σαν να πρόκειται για κείμενο αθλητικής εφημερίδας ή περιοδικού μόδας

Ακόμη και σωστή προετοιμασία να έχει γίνει, στον «στίβο» των ασκήσεων υπάρχουν νέα τερτίπια. Το βασικότερο είναι ο τρόπος ανάγνωσης της εκφώνησης της άσκησης.

Αν δεν διαβάσεις την άσκηση με τον σωστό τρόπο, τότε είτε δεν θα καταλάβεις τι λέει (τι δίνει, τι ζητάει) είτε θα παρερμηνεύσεις αυτά που λέει. Σε κάθε περίπτωση μπαίνεις «με το αριστερό» και η γρουσουζιά παραμονεύει.

  • Πώς διορθώνεται το τρίτο λάθος

Η εκφώνηση μιας άσκησης διαβάζεται αργά, πολύ αργά, λέξη προς λέξη, σύμβολο προς σύμβολο.

Καθετί που είναι γραμμένο, έχει αξία και δίνεται για κάποιον λόγο (τον οποίο πρέπει να αποκαλύψεις καθώς θα λύνεις την άσκηση). Η γρήγορη ανάγνωση, ενίοτε και η επιλεκτική ανάγνωση, οδηγεί είτε σε λάθη είτε σε αδυναμία επίλυσης της άσκησης.

Επειδή η γλώσσα των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά περιεκτική, κάθε λέξη μετράει, διότι μπορεί να οδηγήσει σε μια αλληλουχία κινήσεων που στηρίζονται είτε στην θεωρία είτε στην μεθοδολογία είτε και στα δύο.

Τέταρτο λάθος:  Δίνοντας βαρύτητα στα δεδομένα και όχι στο ζητούμενο

Μεγάλο πλήθος ασκήσεων έχει πολύ χαρακτηριστική εκφώνηση, οπότε έχει και πολύ χαρακτηριστικό τρόπο αντιμετώπισης.

Είναι κρίμα να χάνεις τέτοιες ασκήσεις όταν το μόνο που πρέπει να κάνεις είναι να ακολουθήσεις τα βήματα που υπάρχουν στο «λυσάρι» σου, δηλαδή στην μεθοδολογία. Με βιαστική ανάγνωση ακόμη και προφανείς κινήσεις μπορεί να χαθούν, αλλά και με λάθος αφετηρία στην ανάγνωση μπορεί να επέλθει το ίδιο αποτέλεσμα.

  • Πώς διορθώνεται το τέταρτο λάθος

Ξεκίνα την ανάγνωση δίνοντας μεγαλύτερη βαρύτητα στο ζητούμενο παρά στα δεδομένα. Ειδικά στην Άλγεβρα (αλλά και στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου) το τι θα κάνεις εξαρτάται από το τι ζητείται (σε συντριπτικό ποσοστό). Τα δεδομένα πολλές φορές φαίνονται εξαρχής ασύνδετα ή και περίεργα, κάποιες φορές ακόμη και τρομακτικά.

Ψυχραιμία! Το πώς θα αξιοποιήσεις τα δεδομένα θα φανεί στην πορεία. Γι' αυτό ξεκίνα να διαβάζεις την άσκηση από το ζητούμενο και, στην πορεία, θα δεις πώς θα αξιοποιήσεις τα δεδομένα.

Αν δεν υπάρχει κάτι χαρακτηριστικό στο ζητούμενο, τότε στρέψε την προσοχή σου στα δεδομένα, να βρεις εκεί κάτι χαρακτηριστικό από το οποίο θα πιαστείς για να ξεκινήσεις την λύση.

Αν υπάρχει χαρακτηριστικό και στα δεδομένα και στο ζητούμενο, τότε δώσε προτεραιότητα στο ζητούμενο.

Αν δεν υπάρχει τίποτα χαρακτηριστικό πουθενά, τότε θα χρειαστεί αυτοσχεδιασμός (γι' αυτό λέμε ότι η μεθοδολογία δεν μπορεί να «μαντρώσει» όλες τις περιπτώσεις).

Πέμπτο λάθος:  Εγκαταλείποντας στην πρώτη δυσκολία

Κανένας μας δεν έμαθε Μαθηματικά σε μια νύχτα και κανένας δεν υπάρχει που να μην έχει φάει τα μούτρα του σε ασκήσεις. Επομένως μην ανησυχείς για τις δυσκολίες που συναντάς, είναι εντελώς φυσιολογικές.

Σκέψου το εξής:

ποδήλατο έμαθες να κάνεις αμέσως; Δεν έπεσες ποτέ; Μπάσκετ έμαθες να παίζεις με το που έπιασες μπάλα; Δεν δυσκολεύτηκες ποτέ; Τα παραδείγματα, βέβαια, δεν είναι συγκρίσιμα με το θέμα των ασκήσεων, αλλά δίνουν ένα στίγμα που περιττεύει να το εξηγήσω, είναι εύκολα αντιληπτό.

  • Πώς διορθώνεται το πέμπτο λάθος

Μην εγκαταλείπεις με την πρώτη δυσκολία που θα συναντήσεις!

Άνοιξε ξανά τα βιβλία σου, τις σημειώσεις και τα τετράδιά σου, διότι η απάντηση κάπου εκεί είναι. 

Ψάξε για ανάλογη -ή και ίδια- άσκηση να την ξαναδιαβάσεις και να εντοπίσεις το λάθος σου, το σημείο που σε δυσκολεύει.

Η θεωρία και η μεθοδολογία δίνουν πολλές απαντήσεις επίσης. Αν δεν την βρεις, γράψε την απορία σου και ζήτησε βοήθεια, είτε από τον καθηγητή σου είτε από τους πολλούς και πρόθυμους καθηγητές στο διαδίκτυο.

Επιμένουμε, δεν εγκαταλείπουμε!

Ψάχνουμε, δεν εγκαταλείπουμε!

Ξαναδιαβάζουμε πιο προσεκτικά, δεν εγκαταλείπουμε!

Το παλεύουμε, δεν εγκαταλείπουμε!

Αν δεν καταφέρεις να λύσεις όλη την άσκηση, δείξε στον καθηγητή σου μέχρι πού έφτασες την λύση και ρώτησέ τον τι πήγε στραβά και κόλλησες.

Το να εγκαταλείψεις μια άσκηση είναι ανθρώπινο και συμβαίνει σε όλους μας.

Το να εγκατελείπεις τις ασκήσεις στην πρώτη δυσκολία όμως, δεν είναι σωστό.


Ελπίζω τα δύο μέρη της ανάλυσης του μεγάλου θέματος «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;» να σε βοήθησαν, να σε προβλημάτισαν, αλλά και να σου έδωσαν λύσεις σε προβλήματα που έχεις στα Μαθηματικά.

Θα ήθελα να μου πεις την άποψή σου, να καταθέσεις τους προβληματισμούς σου και να δούμε πώς μπορώ να σε βοηθήσω να ξεπεράσεις δυσκολίες που συναντάς στα Μαθηματικά.

Ο χώρος των σχολίων είναι ανοιχτός γι' αυτόν τον σκοπό.

__CONFIG_colors_palette__{"active_palette":0,"config":{"colors":{"6f04a":{"name":"Main Accent","parent":-1},"8d54f":{"name":"Accent Darker","parent":"6f04a","lock":{"saturation":1,"lightness":1}}},"gradients":[]},"palettes":[{"name":"Default","value":{"colors":{"6f04a":{"val":"rgb(153, 166, 179)","hsl":{"h":210,"s":0.15,"l":0.65}},"8d54f":{"val":"rgb(39, 38, 38)","hsl_parent_dependency":{"h":29,"l":0.15,"s":0}}},"gradients":[]},"original":{"colors":{"6f04a":{"val":"rgb(214, 250, 251)","hsl":{"h":181,"s":0.82,"l":0.91}},"8d54f":{"val":"rgb(40, 40, 40)","hsl_parent_dependency":{"h":0,"s":0,"l":0.15}}},"gradients":[]}}]}__CONFIG_colors_palette__

Σε βοήθησε το άρθρο;

Κοινοποίησέ το στους φίλους σου!

Δημήτρης Μοσχόπουλος

Δημιουργός της ιστοσελίδας «Μαθηματικό στέκι», καθηγητής Μαθηματικών και συγγραφέας. Το διάβασμα, η συγγραφή και τα Μαθηματικά τού είναι τρόπος ζωής. Συχνά θα τον βρεις να ψάχνει στο διαδίκτυο για το πώς μπορεί να γίνει το «στέκι» ο χώρος στον οποίο θα μπορεί κανείς να λύσει γρήγορα και εύκολα τις απορίες του στα Μαθηματικά. Η αναλυτικότητα και η απλή γλώσσα είναι τα κύρια χαρακτηριστικά του στην διδασκαλία και συγγραφή.

Άλλα ενδιαφέροντα άρθρα

Γιατί η σχέση τόσων πολλών μαθητών με τα Μαθηματικά είναι κακή; Γίνεται να λυθεί το πρωταρχικό πρόβλημα, πώς διαβάζουμε Μαθηματικά; Μπορεί, τελικά, να βελτιωθεί η σχέση με τα Μαθηματικά;Το κείμενο είχε αρχικά δημοσιευθεί στις 11-9-2015 υπό τον ίδιο τίτλο και υπότιτλο «Ο τρόπος προσέγγισής τους καθορίζει το πόσο “εύκολα” ή “δύσκολα” θα είναι».Με την ανενέωση […]

Μπορείς να γίνεις καλύτερος Μαθηματικά με όσα υπάρχουν στο διαδίκτυο; Ναι! Κατηγορηματικά ναι! Θα μοιραστώ μαζί σου μερικές από τις διαπιστώσεις που έχω κάνει στα 7 χρόνια που χτίζω το «Μαθηματικό στέκι» και βλέπω τι δημοσιεύεται στο διαδίκτυο γενικώς, αλλά και πώς αυτό όλο διδακτικό υλικό δεν αξιοποιείται σωστά. Θα κάνω, όμως, και προτάσεις για το τι να […]

Το e-learning μπαίνει πολύ πιο δυναμικά στην ζωή μας πλέον. Τι μπορείς να κάνεις για να το αξιοποιήσεις με τον καλύτερο δυνατό τρόπο; Ετοιμάσου σωστά για το επόμενο στάδιο στο e-learning με τις 9 συμβουλές που θα διαβάσεις στην συνέχεια.Σε καθεστώς πολιορκίαςΜέσα Μαρτίου 2020 και η Γη βρίσκεται σε παγκόσμια καραντίνα. Πολλές δραστηριότητες έχουν ανασταλεί για […]

Σημειώσεις για τα σχόλια

    Η συμμετοχή σου στα σχόλια είναι φυσικά ευπρόσδεκτη και, πάνω απ' όλα, επιθυμητή.

    Υπάρχουν μερικοί απλοί κανόνες όμως:

  1. 1
    Τα σχόλια εγκρίνονται από τον διαχειριστή και μετά δημοσιεύονται
  2. 2
    Σχόλια γραμμένα σε greeklish δεν γίνονται δεκτά
  3. 3
    Χρησιμοποίησε κόσμια γλώσσα, χωρίς προσβολές, ακόμη και αν διαφωνείς
  4. Η συμμετοχή στα σχόλια δίνει ζωντάνια στην κοινότητα, προωθεί την επικοινωνία και την ανταλλαγή απόψεων. Δίνει, όμως, και ώθηση για να δημιουργηθούν περισσότερα άρθρα για θέματα που σε απασχολούν.


{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>