Θα μάθεις τι ονομάζουμε αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης (έννοια η οποία είναι εκτός ύλης, αλλά εντελώς απαραίτητη για να κατανοήσεις τα ολοκληρώματα) και πώς οδηγούμαστε στο λεγόμενο ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης.

Επίσης, θα μάθεις όλες τις ιδιότητες που έχει το ορισμένο ολοκλήρωμα, με αναλυτική εξήγηση για κάθε ιδιότητα.

Το κυριότερο μέρος αυτής της ενότητας είναι στην μεθοδολογία, στην οποία θα δεις αναλυτικότατα πώς θα υπολογίσεις ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων ή τεχνικές ολοκλήρωσης, όπως αλλιώς τις λέμε).

Όσα θα μάθεις εδώ αφορούν θέματα τα οποία είναι σκόρπια στις παραγράφους 3.1, 3.2, 3.4 και 3.5 του σχολικού βιβλίου.

Θα μάθεις πώς θα υπολογίσεις ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, ανάλογα με την μορφή που έχει η συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος, μέσα από πέντε πολύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις:

α)  «Απλά» ολοκληρώματα

Για την συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος θα μπορείς να βρεις μία αρχική, χωρίς να χρειάζεται να εφαρμόσεις κάποια εξειδικευμένη μέθοδο ολοκλήρωσης.

β)  Μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες

Πρόκειται για μία πολύ συνηθισμένη μέθοδο υπολογισμού ολοκληρωμάτων. Η συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος θα είναι γινόμενο (ή πηλίκο) και εδώ θα μάθεις πώς θα εφαρμόσεις αυτήν την μέθοδο. Επίσης, θα δεις μερικές χαρακτηριστικές μορφές ολοκληρωμάτων που υπολογίζονται με αυτήν την μέθοδο και έτσι θα εξοικονομείς χρόνο στις ασκήσεις.

γ)  Μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής (μέθοδος της αντικατάστασης)

Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορες περιπτώσεις και σκοπό έχει να οδηγήσει το ολοκλήρωμα σε απλούστερη μορφή. Ως τεχνική δεν θα σου φανεί και τόσο νέα, αφού αλλαγή μεταβλητής έχεις χρησιμοποιήσει και σε υπολογισμούς ορίων. Απλώς, εδώ θα δεις πώς εφαρμόζεται η μέθοδος αυτή στα ολοκληρώματα.

δ)  Ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού μιας συνάρτησης)

Θα μάθεις τι είναι το διαφορικό μιας συνάρτησης και πώς βοηθάει στον υπολογισμό ολοκληρώματος σύνθετης συνάρτησης με πιο ξεκούραστο και οικονομικό στο γράψιμο τρόπο. Αν και η έννοια «διαφορικό συνάρτησης» δεν κατονομάζεται στο σχολικό βιβλίο, εντούτοις είναι έμφυτη στην μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής (περίπτωση (γ) που προανέφερα), οπότε δεν θα δεις κάτι που είναι εκτός ύλης.

ε)  Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης

Όταν η εντός του ολοκληρώματος συνάρτηση είναι ρητή, τότε έχεις μια ιδιαίτερη περίπτωση η οποία μπορεί να εμφανιστεί μόνη της ή να προκύψει μετά την εφαρμογή αλλαγής μεταβλητής. Εδώ θα μάθεις πώς θα υπολογίσεις τέτοιο ολοκλήρωμα.

Οι αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις της ενότητας 2 εντάσσονται στην ακόλουθη κατηγορία, η οποία περιλαμβάνει πέντε (5) ομάδες:

Κατηγορία 2 ~ Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

1η ομάδα ~ «Απλά» ολοκληρώματα.

2η ομάδα ~ Ολοκλήρωση κατά παράγοντες (παραγοντική ολοκλήρωση).

3η ομάδα ~ Μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής (μέθοδος της αντικατάστασης).

4η ομάδα ~ Ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού μιας συνάρτησης).

5η ομάδα ~ Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης.