Θα μάθεις πώς διατυπώνεται το Θεώρημα Μέσης Τιμής και τι συμπέρασμα δίνει. Σε αντίθεση με τα άλλα δύο «υπαρξιακά» θεωρήματα (Bolzano και Rolle), έχει λιγότερες απαιτήσεις για την εφαρμογή του, αλλά δίνει και συμπέρασμα το οποίο διαφοροποιείται από τα άλλα δύο. Οι σχετικές παρατηρήσεις θα σε βοηθήσουν να το κατανοήσεις.

Όσα θα μάθεις εδώ αφορούν θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου.

Αν και «ελαφρύ» ως προς τις προϋποθέσεις του, το Θ.Μ.Τ. αποδεικνύεται κάπως «περίεργο» στις ασκήσεις, αφού υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες θέλει μια δόση φαντασίας για να καταλάβεις ότι θα το χρειαστείς. Όμως, υπάρχουν και πιο ευδιάκριτες περιπτώσεις και εδώ θα μάθεις πώς θα καταλάβεις εύκολα ότι θα χρειαστείς το Θ.Μ.Τ.

Δύο πολύ χαρακτηριστικές περιπτώσεις είναι:

α)  όταν μπορείς να δημιουργήσεις, στα δεδομένα ή το ζητούμενο, το πηλίκο που υπάρχει στο συμπεράσμα του Θ.Μ.Τ.

β)  όταν πρέπει να αποδείξεις ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον αριθμοί σε ένα διάστημα, οι οποίοι ικανοποιούν μια σχέση μεταξύ τιμών της παραγώγου, συνήθως με πράξη μεταξύ αυτών των τιμών.

Οι αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις της παραγράφου 8 εντάσσονται στην ακόλουθη κατηγορία, η οποία περιλαμβάνει πέντε (5) ομάδες:

Κατηγορία 8 ~ Θεώρημα Μέσης Τιμής

1η ομάδα ~ Στα δεδομένα ή το ζητούμενο υπάρχει (ή μπορεί να δημιουργηθεί) το πηλίκο του συμπεράσματος του Θ.Μ.Τ.

2η ομάδα ~ Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αριθμοί σε ένα διάστημα, οι οποίοι ικανοποιούν μια σχέση (συνήθως με κάποια πράξη μεταξύ τιμών της παραγώγου).

3η ομάδα ~ Να δείξετε ότι ισχύει μια διπλή ανισότητα με αλγεβρικές παραστάσεις ή αριθμούς.

4η ομάδα ~ Υπάρχει σχέση για την πρώτη παράγωγο (συνήθως ανισότητα), στα δεδομένα ή και στο ζητούμενο.

5η ομάδα ~ Συνδυαστικές ασκήσεις με τα θεωρήματα Bolzano, Rolle και Θ.Μ.Τ.