3ο μάθημα
Παράγραφος 3.3
Εξισώσεις 2ου βαθμού
Η τελευταία αυτή παράγραφος του κεφαλαίου περιλαμβάνει θέματα τεράστιας αξίας!
Η εξίσωση 2ου βαθμού είναι από τις πλέον δημοφιλείς εξισώσεις και θα την συναντήσεις εκατομμύρια φορές στις ασκήσεις των Μαθηματικών (δεν μιλάω μόνο για την Α' Λυκείου, όπως καταλαβαίνεις). Επομένως, είναι εντελώς απαραίτητο να μάθεις άριστα όσα θα διαβάσεις στην αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία και να εξασκηθείς πολύ.
Και εδώ, η θεωρία και η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι συνυφασμένες. Έτσι, στην άκρως σημαντική θεωρία αυτής της παραγράφου:
α) θα ξαναδείς πώς θα λύσεις μια εξίσωση 2ου βαθμού (είναι ήδη γνωστά από την Γ' Γυμνασίου).
β) θα μάθεις πώς θα βρεις το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, χωρίς να χρειαστεί να λύσεις την εξίσωση.
γ) θα μάθεις για δύο πολύ σημαντικές παραστάσεις: το άθροισμα των ριζών και το γινόμενο των ριζών μιας εξίσωσης 2ου βαθμού.
Με βάση αυτά, στο (γ) θα μάθεις και:
Ι. πώς θα βρεις, αν υπάρχουν, δύο αριθμούς με συγκεκριμένο άθροισμα και συγκεκριμένο γινόμενο.
ΙΙ. πώς θα κατασκευάσεις μια εξίσωση 2ου βαθμού, όταν γνωρίζεις το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της.
ΙΙΙ. πώς θα υπολογίσεις τις τιμές χαρακτηριστικών παραστάσεων, οι οποίες δημιουργούνται με τις δύο ρίζες μιας εξίσωσης 2ου βαθμού.
δ) θα μάθεις για διάφορους συνδυασμούς στα είδη των ριζών μιας εξίσωσης 2ου βαθμού (π.χ. η εξίσωση να έχει ρίζες θετικές ή να έχει ρίζες ετερόσημες κ.ά) και τις σχετικές συνθήκες.
ε) θα μάθεις για εξισώσεις οι οποίες δεν είναι εξαρχής 2ου βαθμού, αλλά ανάγονται/καταλήγουν σε εξισώσεις 2ου βαθμού.
Ειδικότερα, στο (ε) θα μάθεις:
Ι. πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση, δηλαδή εξίσωση με κλάσματα τα οποία έχουν πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή τους (το θέμα το είδες ήδη στην παράγραφο 3.1, μόνο που εκεί η τελική εξίσωση ήταν 1ου βαθμού).
ΙΙ. πώς θα λύσεις μια εξίσωση με την βοήθεια αλλαγής μεταβλητής και θα την οδηγήσεις σε εξίσωση 2ου βαθμού (και αυτό το θέμα το είδες ήδη στην παράγραφο 3.1 και τις εξισώσεις με απόλυτες τιμές).
ΙΙΙ. πώς θα λύσεις μια διτετράγωνη εξίσωση.
Πρόκειται για μια νέα μορφή εξισώσεων, η επίλυση της οποίας στηρίζεται στην μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής (αυτό που θα μάθεις στο ε-ΙΙ δηλαδή).
Διδακτικό υλικό
Σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο
Μάθε τι αναφέρεται και πού στην θεωρία, ποια σημεία της χρειάζονται περισσότερη προσοχή, κάνε χρήσιμες σημειώσεις και συμπληρώσεις, δες ποιες είναι βασικές ασκήσεις που πρέπει οπωσδήποτε να λύνεις με άνεση.
Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία
Διάβασε και μάθε την θεωρία όπως πρέπει:
Με αναλυτική παρουσίαση και πολύ καλύτερη επεξήγηση, οργανωμένα, με αρκετά συνοδευτικά παραδείγματα.
Λύσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου
Μελέτησε προσεκτικά τις λύσεις των ασκήσεων!
Είναι αναλυτικές και συνοδεύονται από σχόλια ή υπενθυμίσεις (όπου αυτό κρίθηκε απαραίτητο).
Περισσότερες λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν.
Γι' αυτό, είναι απαραίτητο να εμπλουτίσεις τις γνώσεις και εικόνες σου με τις ασκήσεις που επέλεξα και έλυσα αναλυτικά. Σε πολλές εξ αυτών θα βρεις και χρήσιμα σχόλια ή υπενθυμίσεις.
1ο τεύχος ~ Σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο
Μάθε τι αναφέρεται και πού στην θεωρία, ποια σημεία της χρειάζονται περισσότερη προσοχή, κάνε χρήσιμες σημειώσεις και συμπληρώσεις, δες ποιες είναι βασικές ασκήσεις που πρέπει οπωσδήποτε να λύνεις με άνεση.
2ο τεύχος ~ Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία
Διάβασε και μάθε την θεωρία όπως πρέπει:
Με αναλυτική παρουσίαση και πολύ καλύτερη επεξήγηση, οργανωμένα, με συνοδευτικά παραδείγματα.
3ο τεύχος ~ Λύσεις ασκήσεων σχολικού βιβλίου
Μελέτησε προσεκτικά τις λύσεις των ασκήσεων!
Είναι αναλυτικές και συνοδεύονται από σχόλια ή υπενθυμίσεις (όπου αυτό κρίθηκε απαραίτητο).
4ο τεύχος ~ Περισσότερες λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν.
Γι' αυτό, είναι απαραίτητο να εμπλουτίσεις τις γνώσεις και εικόνες σου με τις ασκήσεις που επέλεξα και έλυσα αναλυτικά. Σε πολλές εξ αυτών θα βρεις και χρήσιμα σχόλια ή υπενθυμίσεις.