Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ – Κεφάλαιο 2 – Διαφορικός Λογισμός

Το κεφάλαιο αυτό είναι το πιο πλούσιο και σημαντικό από τα τρία κεφάλαια της διδακτέας-εξεταστέας ύλης της Γ' Λυκείου για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και η μεγάλη βουτιά στην Ανάλυση.

Εδώ θα βρεις δωρεάν ένα αναλυτικότατο βιβλίο αφιερωμένο στην ανάπτυξη των πολλών και σημαντικών θεμάτων του κεφαλαίου. Το βιβλίο περιλαμβάνει αναλυτικότατη θεωρία και μεθοδολογία, καθώς και εκατοντάδες αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις, οι οποίες είναι ταξινομημένες σε κατηγορίες για να σε διευκολύνουν στην εύρεση και μελέτη του θέματος που σε ενδιαφέρει.

Μαζί με τα βίντεο θεωρίας και ασκήσεων που θα βρεις στην σχετική λίστα αναπαραγωγής από το κανάλι μου στο You Tube, θα βάλεις σωστές και γερές βάσεις στο κεφάλαιο.

Από τον παρακάτω πίνακα, πάτησε στον τίτλο της ενότητας που σε ενδιαφέρει.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ~ Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις θέματα της παραγράφου 2.1 του σχολικού βιβλίου, η οποία εισάγει την έννοια του παράγωγου αριθμού συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Στην ουσία αποτελεί προέκταση του κεφαλαίου των ορίων, αφού οι ασκήσεις της ενότητας αυτής αντιμετωπίζονται με τις μεθόδους που διδάχθηκες στα όρια.

Στην μεθοδολογία θα δεις ποια θέματα στις ασκήσεις στηρίζονται στον ορισμό της παραγώγου σε σημείο, πώς θα τα αναγνωρίσεις και πώς θα τα αντιμετωπίσεις.

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ~ Παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις θέματα των παραγράφων 2.2 και ­2.3 του σχολικού βιβλίου, οι οποίες εισάγουν την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης, παρέχοντας ένα βασικότατο τυπολόγιο και τους κανόνες με τους οποίους βρίσκεται αυτή η νέα συνάρτηση. Πρόκειται για θεμελιώδη παράγραφο του κεφαλαίου.

Στην μεθοδολογία θα δεις αναλυτικά πώς θα βρεις την παράγωγο μιας συνάρτησης, σημαντικές παρατηρήσεις και χρήσιμα «κόλπα», τα οποία θα διευκολύνουν αυτήν την πολύ σημαντική εργασία.

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ~ Κανόνες του de l' Hospital

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις τα θέματα της παραγράφου 2.9 του σχολικού βιβλίου, τα οποία δυστυχώς, ακόμη και σήμερα, βρίσκονται σε λανθασμένη θέση στην σειρά διδασκαλίας του σχολικού βιβλίου.

Στηριζόμενοι στην 2η ενότητα, οι κανόνες του de l’ Hospital επεκτείνουν (και ολοκληρώνουν) τις μεθόδους υπολογισμού ορίων. Ουσιαστικά επομένως, η ενότητα αυτή αποτελεί επέκταση του κεφαλαίου των ορίων, με εμβόλιμα στοιχεία θεωρίας από την 2η ενότητα.

Στην μεθοδολογία θα δεις πώς θα αντιμετωπίσεις, με τους κανόνες του de l' Hospital, απροσδιοριστίες που γνώρισες ήδη στο κεφάλαιο των ορίων, θα δεις όμως και άλλες απροσδιοριστίες.

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ~ Ασύμπτωτες συνάρτησης

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις τα θέματα της παραγράφου 2.9 του σχολικού βιβλίου, τα οποία (όπως και οι κανόνες του de l' Hospital) εξακολουθούν να βρίσκονται σε λανθασμένη θέση στο σχολικό βιβλίο.

Στην μεθοδολογία θα δεις πώς θα βρεις τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης, καθώς και πώς θα αξιοποιήσεις ένα δεδομένο ότι μια ευθεία είναι ασύμπτωτη μιας συνάρτησης. Οι ασκήσεις της ενότητας 4 είναι ξεκάθαρα θέματα ορίων και δεν απαιτούν χρήση εξειδικευμένης θεωρίας ή μεθοδολογίας του Διαφορικού Λογισμού.

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ~ Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις θέματα που αναπτύσσονται φτωχικά και σκόρπια στις παραγράφους 2.1­ - 2.3 του σχολικού βιβλίου.

Στην μεθοδολογία θα δεις αναλυτικότατα πώς θα αντιμετωπίσεις διάφορα θέματα της εφαπτομένης. Μέσω των περιπτώσεων που θα μελετήσεις, θα κατανοήσεις πολύ καλύτερα την εφαπτομένη και θα δεις πολλές συμπληρώσεις στην φτωχή θεωρία του σχολικού βιβλίου.

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ~ Ρυθμός μεταβολής

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.4 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων είναι πολύ διαφορετική από το γενικό πνεύμα ασκήσεων με την οποία έχεις ασχοληθεί όλα αυτά τα χρόνια, αλλά και όσων γενικώς υπάρχουν στον Διαφορικό Λογισμό.

Για το βιβλίο του Διαφορικού Λογισμού η ανάπτυξη αυτής της ενότητας αποτελεί στολίδι, διότι την έγραψε εξ ολοκλήρου ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Θανάσης Νικολόπουλος, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ.

Μέχρι τώρα δεν έτυχε να δω κάπου τόσο αναλυτική και επεξηγηματική παρουσίαση της θεωρίας-μεθοδολογίας και των ασκήσεων, το οποίο με κάνει να την θεωρώ ως την καλύτερη  μέχρι στιγμής!

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν δυσκολευτείς σε κάποια άσκηση ή στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω!

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ~ Θεώρημα του Rolle

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων μοιάζει αρκετά με τα αντίστοιχα του θεωρήματος του Bolzano (κεφάλαιο ορίων), το οποίο θα βοηθήσει στην κατανόηση. Εδώ θα βοηθήσουν πολύ και όσα αναφέρθηκαν στην 2η ενότητα του κεφαλαίου.

Στην μεθοδολογία θα δεις ποια είδη ασκήσεων αντιμετωπίζονται με το θεώρημα του Rolle.

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ~ Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων έχει ιδιαιτερότητες, αφού οι διατυπώσεις των ασκήσεων θυμίζουν θέματα των θεωρήματων Bolzano και Rolle, αλλά αντιμετωπίζονται με διαφορετικό τρόπο. Πρόκειται για ένα θεώρημα το οποίο απαιτεί προσοχή.

Στην μεθοδολογία θα δεις πώς θα καταλάβεις ότι σε μία άσκηση θα χρειαστείς το Θ.Μ.Τ. Θα δεις χαρακτηριστικές εκφωνήσεις ασκήσεων, οι οποίες αντιμετωπίζονται με αυτό το θεώρημα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ~ Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής

  • Θεωρία-Μεθοδολογία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα δεις τα θέματα της παραγράφου 2.6 του σχολικού βιβλίου, η οποία δημιουργεί δύο πολύ χαρακτηριστικά ζητούμενα στις ασκήσεις:

α)  να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι σταθερή.

β)  να βρεις τον τύπο μιας συνάρτησης.

Αν και στον τίτλο της αναφέρεται το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.), στις ασκήσεις αυτό δεν συναντάται συχνά. Και εδώ θα βοηθήσουν σημαντικά όσα αναφέρθηκαν στην ενότητα 2.

Στην μεθοδολογία θα δεις πώς θα αντιμετωπίσεις τα χαρακτηριστικά ζητούμενα που προανέφερα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ~ Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης

  • Θεωρία

  • Ασκήσεις

Πραγματεύεται θέματα που αναπτύσσονται στις παραγράφους 2.6-­2.7 του σχολικού βιβλίου. Πρόκειται για την σημαντικότερη ενότητα του κεφαλαίου (τολμώ να πω και όλης της ύλης της Γ' Λυκείου γενικότερα!), αφού τα θέματά της συνδέονται με πάρα πολλά άλλα θέματα που ήδη αναφέρθηκαν (και που θα αναφερθούν στις δύο τελευταίες ενότητες), ενώ σε συνδυαστικές ασκήσεις σπανίως λείπουν (από τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων δεν λείπουν ποτέ!).

Πώς θα βρεις την μονοτονία (και τα ακρότατα) μιας συνάρτησης, πολύ περισσότερο πώς θα την αξιοποιήσεις όμως σε θέματα που στηρίζονται σε αυτήν, είναι θεμελιώδες στον Διαφορικό Λογισμό αλλά και στην γενική προετοιμασία για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις.

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ~ Ακρότατα συνάρτησης (ειδικά θέματα)

  • Θεωρία

  • Ασκήσεις

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 2.7 του σχολικού βιβλίου και συμπληρώνει θέματα της 10ης ενότητας. Κυρίως ασχολείται με ένα ακόμη σημαντικό θεώρημα της Ανάλυσης, το θεώρημα του Fermat, το οποίο συνδέεται με πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις στα ακρότατα.

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ~ Κυρτότητα και σημεία καμπής συνάρτησης

  • Θεωρία

  • Ασκήσεις

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.8 του σχολικού βιβλίου και αποτελεί την τελευταία ενότητα του βιβλίου. Τα θέματά της μοιάζουν με αυτά της μονοτονίας και ακροτάτων μιας συνάρτησης και αυτό βοηθάει σημαντικά στην κατανόηση και αντιμετώπισή τους στις ασκήσεις.

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

  • Συμβουλές

  • Λύσεις ασκήσεων

Η στροφή των θεμάτων των Πανελληνίων Εξετάσεων οδήγησε σε αναβάθμιση του ρόλου του σχολικού βιβλίου (το σχολικό βιβλίο μπορείς να το διαβάσεις και να το αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου από εδώ).

Αν και αυτό είναι πάντα η βάση, η αρχή της μελέτης και προετοιμασίας σου για τις εξετάσεις, χρειάζεται πολλή και σωστή υποστήριξη.

Γι' αυτό έγραψα για σένα το παραπάνω βιβλίο, γι' αυτό γράφουν και τόσοι καθηγητές βιβλία και σημειώσεις.

Μην αρκείσαι σε σύντομες λύσεις!  Δες όλες τις ασκήσεις αναλυτικά λυμένες.

Κάθε άσκηση να την βλέπεις ως ένα μάθημα, διότι είναι μάθημα.

Και πάντα, μα πάντα να προσέχεις πολύ τον καθηγητή σου στο σχολείο κατά την διδασκαλία!

Επειδή ο χρόνος της διδασκαλίας όμως είναι περιορισμένος, ο καθηγητής σου στο σχολείο δεν έχει πάντα την δυνατότητα να λύνει όλες τις ασκήσεις αναλυτικά -αν και θα το ήθελε, μην αμφιβάλλεις καθόλου γι' αυτό.

Και βεβαίως, ούτε στο «λυσάρι» που έχεις μαζί με το σχολικό σου βιβλίο οι λύσεις είναι αναλυτικές.

Όμως, η αναλυτική παρουσίαση της λύσης μιας άσκησης είναι απαραίτητη, για δύο βασικούς λόγους:

Πρώτος λόγος είναι η κατανόηση καθαυτής της λύσης.

Μια σύντομη λύση σίγουρα θα δημιουργήσει κενά στην κατανόηση, ακόμη και επικίνδυνες παρανοήσεις.

Δεύτερος λόγος είναι ότι και εσύ πρέπει να μάθεις να παρουσιάζεις αναλυτικά την λύση μιας άσκησης.

Η διατύπωση παίζει σημαντικό ρόλο στην βαθμολόγηση, αφού είναι ο τρόπος με τον οποίο επικοινωνείς με τον βαθμολογητή σου στις εξετάσεις.

Μελέτα προσεκτικά κάθε άσκηση!

Αυτό ισχύει για κάθε άσκηση, διότι κάθε άσκηση έχει κάτι να προσφέρει.

>
Success message!
Warning message!
Error message!