Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ – Διαφορικός Λογισμός

Το κεφάλαιο αυτό είναι το πιο πλούσιο και σημαντικό από τα τρία κεφάλαια της διδακτέας-εξεταστέας ύλης της Γ΄ Λυκείου για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και η μεγάλη βουτιά στην Ανάλυση.

Το «Μαθηματικό στέκι» σού παρέχει δωρεάν ένα ολόκληρο, αναλυτικότατο βιβλίο αφιερωμένο στην ανάπτυξη των πολλών και σημαντικών θεμάτων του κεφαλαίου, όχι απλώς σημειώσεις.

Μαζί με τα βίντεο θεωρίας και ασκήσεων που θα βρεις στην σχετική λίστα αναπαραγωγής από το κανάλι μου στο You Tube, θα βάλεις τις σωστές και γερές βάσεις για τις μισές (τουλάχιστον) μονάδες στα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων, αλλά και για το επόμενο -και τελευταίο- κεφάλαιο της ύλης.

Γρήγορη περιήγηση στην σελίδα

Αν δεν γνωρίζεις τι περιλαμβάνει το βιβλίο και θέλεις να μάθεις, πάτησε στον σύνδεσμο «Τι περιλαμβάνει το βιβλίο».

Ο σύνδεσμος «Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο» παρέχει σύντομες και περιεκτικές συμβουλές για την σωστή μελέτη του, αλλά και γενικώς για τον σωστό τρόπο με τον οποίο πρέπει να διαβάζεις. Διάβασέ τες!

Απαραίτητος βοηθός, καθ' όλη την διάρκεια της προετοιμασίας σου για τις εξετάσεις, είναι το βιβλίο «Πώς;», στο οποίο είναι συγκεντρωμένα όλα τα βασικά στοιχεία Άλγεβρας και Γεωμετρίας, από την Α΄ Γυμνασίου έως και την Β΄ Λυκείου.

Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις επομένως, το βιβλίο αυτό θα στο υπενθυμίζει γρήγορα.

Πάτησε στην εικόνα του, όταν χρειαστείς την βοήθειά του.

Τι περιλαμβάνει το βιβλίο

Τόσο στην ψηφιακή όσο και στην έντυπη μορφή του, το βιβλίο είναι χωρισμένο σε 12 ενότητες.

Η ψηφιακή μορφή του όμως, είναι χωρισμένη σε 73 επιμέρους τεύχη. Αυτό θα σε βοηθήσει να επιλέγεις γρηγορότερα το θέμα στο οποίο χρειάζεσαι βοήθεια, άρα γρηγορότερα θα λύνεις τις απορίες σου.

Τα τεύχη αυτά περιλαμβάνουν αναλυτικότατη θεωρία, αναλυτικότατη μεθοδολογία και ασκήσεις λυμένες βήμα προς βήμα.

Οι προτάσεις του σχολικού βιβλίου μεταφέρονται αυτούσιες (και τις οποίες θα βρίσκεις πάντα εντός πράσινου πλαισίου), εμπλουτίζονται με σχόλια, παρατηρήσεις και παραδείγματα. Τα σχήματα προέρχονται όλα από το σχολικό βιβλίο, ενώ τα συνοδευτικά παραδείγματα από το προσωπικό μου αρχείο, ασκήσεις που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο ή δικές μου κατασκευές.

Παραδείγματα

Υπάρχουν 148 παραδείγματα, συνοδευτικά θεμάτων της θεωρίας ή μετά την παρουσίαση της μεθοδολογίας κάποιας κατηγορίας ασκήσεων.

Προσπάθησα να τα τοποθετήσω στις θέσεις που έκρινα καλύτερες, ώστε να δένουν με όσα προηγούνται αυτών. Βέβαια αυτά από μόνα τους δεν αρκούν, γι’ αυτό υπάρχουν οι αναλυτικά λυμένες ασκήσεις κάθε κατηγορίας ασκήσεων.

Αναλυτικότατη μεθοδολογία

Η θεματολογία των ασκήσεων του κεφαλαίου ταξινομήθηκε σε 61 κατηγορίες.

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αναλύεται διεξοδικά και παρουσιάζεται βήμα προς βήμα ο τρόπος αντιμετώπισης του θέματός της.

Αυτό θα βοηθήσει πολύ στην οργάνωση της σκέψης και θα αποβάλει το άγχος των ασκήσεων, αλλά να προσέξεις το εξής:

η μεθοδολογία είναι ένας δρόμος προς την λύση, δίνει μία βασική κατεύθυνση, αλλά δεν πρέπει να δεσμεύει απόλυτα την σκέψη!

Ο καθηγητής σου θα σου δείξει παραλλαγές, οι οποίες είτε τροποποιούν είτε αναιρούν μια μεθοδολογία (και πολύ καλά θα κάνει)!

Ασκήσεις, λυμένες βήμα προς βήμα

Και οι 660 ασκήσεις του βιβλίου προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο και είναι διαθέσιμες σε όλους (την προέλευση κάθε άσκησης θα την βρεις στην βιβλιογραφία).

Είναι λυμένες αναλυτικότατα, χωρίς να παραλείπεται κανένα βήμα, ενώ σε πολλές εξ αυτών γίνονται χρήσιμα σχόλια και υπενθυμίσεις από την θεωρία ή προηγούμενες τάξεις.

Να μελετάς προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις, πριν ασχοληθείς με ασκήσεις που σου αναθέτει ο καθηγητής σου ή να προστρέχεις σε αυτές, αν κάποιο θέμα σε δυσκολεύει.

Δεν θα τις αξιοποιήσεις σωστά, αν πιάσεις να τις ξαναλύσεις! Θα σου δοθούν πολλές περισσότερες από τον καθηγητή σου, που θα καλύψουν (και με το παραπάνω!) τις ανάγκες σου σε ασκήσεις. Η μελέτη των λυμένων ασκήσεων είναι βασικό στάδιο της προετοιμασίας σου και δεν πρέπει να το παραλείπεις!

Τα αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου θα τα δεις, αν πατήσεις στην μικρή εικόνα.

Το βιβλίο δεν διατίθεται για αποθήκευση στον υπολογιστή σου (γι΄αυτό και η ψηφιακή του μορφή είναι μόνο για δωρεάν online μελέτη), αλλά μπορείς να το αποκτήσεις, προαιρετικά, σε έγχρωμη έντυπη μορφή.

Πάτησε εδώ για περισσότερες πληροφορίες.

Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο!

Να ποιος είναι ο σωστός τρόπος (αλλά και γενικώς ο σωστός τρόπος για να διαβάζεις) :

1.  Διάβαζε προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, θεωρήματα, παρατηρήσεις, παραδείγματα)

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία για τις ασκήσεις

3.  Μελέτα προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις

Μόνο αφού κάνεις τα παραπάνω -και χωρίς να παραλείψεις κανένα βήμα ή να αλλάξεις την σειρά- θα πιάσεις να λύσεις ασκήσεις.

Αν παραλείψεις κάτι από τα παραπάνω, τα αποτελέσματα δεν θα είναι αυτά που πρέπει και θέλεις.

Οργάνωσε σωστά την μελέτη του βιβλίου

Για να σε βοηθήσω ακόμη περισσότερο στην μελέτη (και στις επαναλήψεις που τακτικά θα πρέπει να κάνεις), κάθε ενότητα αποτελείται:

-   από το τεύχος θεωρίας, το οποίο περιλαμβάνει την βασική θεωρία που αναφέρεται και στο σχολικό βιβλίο, μαζί με κάποια συνοδευτικά παραδείγματα, όπου είναι απαραίτητο.

-  από τα τεύχη μεθοδολογίας και λυμένων ασκήσεων, στα οποία θα βρεις βήμα προς βήμα μεθοδολογία, πολλές συμπληρώσεις στην θεωρία, παραδείγματα και βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Διάβασε όλο το βιβλίο δωρεάν!

  • Για να διαβάσεις αυτό που χρειάζεσαι, πάτησε στο σχετικό πλαίσιο παρακάτω.
  • Αν θέλεις να δεις τα πλήρη και αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου, πάτησε εδώ.
  • Αν θέλεις να διαβάσεις περισσότερες λεπτομέρειες για το βιβλίο, πάτησε εδώ.
  • Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις, πατώντας εδώ θα βρεις γρήγορα την απάντηση που θέλεις.

1η ενότητα  -  Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.1 του σχολικού βιβλίου και εισάγει την έννοια του παράγωγου αριθμού συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Στην ουσία αποτελεί προέκταση του κεφαλαίου των ορίων, αφού οι ασκήσεις της ενότητας αυτής αντιμετωπίζονται με τις μεθόδους που διδάχθηκες στα όρια.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 1ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

  Να εξετάσετε ή να δείξετε ή γνωρίζετε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της.

  Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της.

  Να δείξετε ή γνωρίζετε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και η συνάρτηση να βρίσκεται μέσα σε όριο με γνωστή τιμή.

  Να δείξετε ή γνωρίζετε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και στα δεδομένα υπάρχει ανισότητα, διπλή ή μονή.

  Να δείξετε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της (ή σε κάποιο διάστημα) και στα δεδομένα να υπάρχει σχέση της μορφής f(x + y) ή f(xy).

  Να δείξετε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και στα δεδομένα να υπάρχει μια σχέση που ικανοποιεί η συνάρτηση.

2η ενότητα  -  Παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Κανόνες παραγώγισης

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα των παραγράφων 2.2 και ­2.3 του σχολικού βιβλίου και εισάγει την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης, παρέχοντας ένα βασικότατο τυπολόγιο και τους κανόνες με τους οποίους βρίσκεται αυτή η νέα συνάρτηση. Πρόκειται για θεμελιώδη παράγραφο του κεφαλαίου.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 2ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Η αναλυτική μεθοδολογία για τις ασκήσεις (και οι απαραίτητες συμπληρώσεις στην θεωρία) αναπτύσσεται στο τεύχος ασκήσεων των κατηγοριών 7, 8 και 9.

  Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, η οποία είναι άθροισμα, διαφορά, πηλίκο, γινόμενο ή συνδυασμός πράξεων συναρτήσεων (όχι σύνθεση συναρτήσεων).

  Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, η οποία είναι σύνθεση συναρτήσεων .

  Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, η οποία είναι διπλού τύπου (γενικώς, πολλαπλού τύπου).

10η  Γενικές ασκήσεις στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις και τους κανόνες παραγώγισης.

3η ενότητα  -  Κανόνες του de l' Hospital

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.9 του σχολικού βιβλίου, τα οποία δυστυχώς, ακόμη και σήμερα, βρίσκονται σε λανθασμένη θέση στην σειρά διδασκαλίας του σχολικού βιβλίου. Στηριζόμενοι στην 2η ενότητα, οι κανόνες του de l’ Hospital επεκτείνουν (και ολοκληρώνουν) τις μεθόδους υπολογισμού ορίων. Ουσιαστικά επομένως, η ενότητα αυτή αποτελεί επέκταση του κεφαλαίου των ορίων, με εμβόλιμα στοιχεία θεωρίας από την 2η ενότητα.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 3ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

11η  Απροσδιοριστία "μηδέν διά μηδέν".

12η  Απροσδιοριστία "άπειρο διά άπειρο".

13η  Απροσδιοριστία "συν άπειρο πλην άπειρο".

14η  Απροσδιοριστία "μηδέν επί άπειρο".

15η  Άλλες απροσδιοριστίες ορίων.

16η  Γενικές ασκήσεις στα όρια με χρήση των κανόνων του de l' Hospital.

4η ενότητα  -  Ασύμπτωτες συνάρτησης

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.9 του σχολικού βιβλίου, τα οποία επίσης εξακολουθούν να βρίσκονται σε λανθασμένη θέση στο σχολικό βιβλίο. Οι ασκήσεις της ενότητας είναι ξεκάθαρα θέματα ορίων και δεν απαιτούν χρήση εξειδικευμένης θεωρίας ή μεθοδολογίας του Διαφορικού Λογισμού.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 4ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

17η  Να βρείτε τις ασύμπτωτες μιας συνάρτησης.

18η  Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε δοθείσα ευθεία να είναι ασύμπτωτη μιας συνάρτησης.

19η  Γενικές ασκήσεις στις ασύμπτωτες.

5η ενότητα  - Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα που αναπτύσσονται φτωχικά και σκόρπια στις παραγράφους 2.1­ - 2.3 του σχολικού βιβλίου. Μέσω των θεμάτων που υπάρχουν στις κατηγορίες των ασκήσεων η ενότητα εμπλουτίζεται με πολλά στοιχεία θεωρίας (πέραν της απαραίτητης μεθοδολογίας), προσπαθώντας να δώσει μια πληρέστερη εικόνα στα θέματα της εφαπτομένης.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 5ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

20η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης σε γνωστό σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

21η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι παράλληλη προς δοθείσα ευθεία.

22η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι κάθετη προς δοθείσα ευθεία.

23η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που διέρχεται από γνωστό σημείο.

24η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που σχηματίζει με τον άξονα x΄x συγκεκριμένη γωνία.

25η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x (οριζόντια εφαπτομένη).

26η  Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης, όταν η συνάρτηση είναι διπλού τύπου (γενικώς, πολλαπλού τύπου).

27η  Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η εφαπτομένη έχει κάποια από τις ιδιότητες των κατηγοριών 21 - 25.

28η  Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε η εφαπτομένη, σε κάποιο σημείο, να έχει κάποια από τις ιδιότητες των κατηγοριών 21 - 25.

29η  Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες δύο γραφικών παραστάσεων.

30η  Οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.

31η  Ευθεία εφάπτεται στην γραφική παράσταση.

32η  Γενικές ασκήσεις στην εφαπτομένη.

6η ενότητα  - Ρυθμός μεταβολής

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 2.4 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων είναι πολύ διαφορετική από το γενικό πνεύμα ασκήσεων με την οποία έχεις ασχοληθεί όλα αυτά τα χρόνια. Για το βιβλίο του Διαφορικού Λογισμού η ανάπτυξη αυτής της ενότητας αποτελεί στολίδι, διότι την έγραψε εξ ολοκλήρου ο αγαπητός φίλος και συνάδελφος Θανάσης Νικολόπουλος, τον οποίο και ευχαριστώ θερμά. Μέχρι τώρα δεν έτυχε να δω κάπου τόσο επεξηγηματική παρουσίαση της θεωρίας και των ασκήσεων, το οποίο με κάνει να την θεωρώ ως την καλύτερη  μέχρι στιγμής!

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 6ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Λυμένες ασκήσεις

Η ιδιαιτερότητα αυτής της ενότητας ώθησε στην δημιουργία ξεχωριστών τευχών μεθοδολογίας και λυμένων ασκήσεων. Πάντα αναλυτικότατα, σε κάθε τεύχος θα βρεις ό,τι χρειάζεσαι.

Ανεξάρτητη κατηγορία ασκήσεων  Ρυθμός μεταβολής

Ο Θανάσης Νικολόπουλος έχει συγκεντρώσει όλα όσα διάβασες εδώ, σε ένα αυτόνομο, έγχρωμο βιβλίο για τον ρυθμό μεταβολής. Σε αυτό έχει προσθέσει και 30 εξαιρετικά συνδυαστικά θέματα από όλη την ύλη της Γ΄ Λυκείου, λυμένα με μοναδική αναλυτικότητα, τα οποία περιλαμβάνουν ερωτήματα ρυθμού μεταβολής και είναι εξαιρετικές προτάσεις για θέματα εξετάσεων.

Τα 30 εξαιρετικά επαναληπτικά θέματα που περιλαμβάνει αυτό το βιβλίο μπορείς να τα δεις πατώντας στην εικόνα του βιβλίου.

Το βιβλίο αυτό (θεωρία, μεθοδολογία, λυμένες ασκήσεις μόνο με ρυθμό μεταβολής και 30 επαναληπτικά θέματα) διατίθεται και σε έγχρωμη έντυπη μορφή.

Μπορείς να το προμηθευτείς, αρκεί να στείλεις email στον Θανάση Νικολόπουλο στην διεύθυνση  greenblooded@gmail.com.

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν σε δυσκολεύει κάποια άσκηση ή δεν καταλαβαίνεις κάτι στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω.

Προτιμάς το κλασικό βιβλίο;

Πληρώνοντας μόνο το κόστος εκτύπωσης και αποστολής, μπορείς να έχεις ένα όμορφο έγχρωμο βιβλίο στο γραφείο σου και να βελτιώσεις ακόμη περισσότερο την μελέτη σου.

Υποστήριξε την προσπάθεια!

Η κοινοποίηση της σελίδας θα δώσει δύναμη για να γίνουν περισσότερα για σένα, όμως...

...βοήθησε και άλλους!

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν σε δυσκολεύει κάποια άσκηση ή δεν καταλαβαίνεις κάτι στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω.

Προτιμάς το κλασικό βιβλίο;

Πληρώνοντας μόνο το κόστος εκτύπωσης και αποστολής, μπορείς να έχεις ένα όμορφο έγχρωμο βιβλίο στο γραφείο σου και να βελτιώσεις ακόμη περισσότερο την μελέτη σου.

Υποστήριξε την προσπάθεια!

Η κοινοποίηση της σελίδας θα δώσει δύναμη για να γίνουν περισσότερα για σένα, όμως...


...βοήθησε και άλλους!

7η ενότητα  -  Θεώρημα του Rolle

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων μοιάζει αρκετά με τα αντίστοιχα του θεωρήματος του Bolzano (κεφάλαιο ορίων), το οποίο θα βοηθήσει στην κατανόηση. Εδώ θα βοηθήσουν πολύ και όσα αναφέρθηκαν στην 2η ενότητα του Διαφορικού Λογισμού.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 7ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

33η  Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα σε ένα ανοικτό διάστημα.

34η  Να δείξετε ότι υπάρχει ένας, τουλάχιστον, αριθμός ενός ανοικτού διαστήματος, ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση.

35η  Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα (γενικώς, το πολύ κ ρίζες).

36η  Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα).

37η  Στο ζητούμενο εμφανίζεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης.

38η  Το θεώρημα του Rolle σε συναρτήσεις διπλού τύπου.

8η ενότητα  -  Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου, η φιλοσοφία των οποίων έχει ιδιαιτερότητες, αφού οι διατυπώσεις των ασκήσεων θυμίζουν θέματα των θεωρήματων Bolzano και Rolle αλλά αντιμετωπίζονται διαφορετικά. Πρόκειται για ένα θεώρημα το οποίο απαιτεί προσοχή.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 8ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

39η  Στα δεδομένα ή το ζητούμενο υπάρχει (ή μπορεί να δημιουργηθεί) το πηλίκο του συμπεράσματος του Θ.Μ.Τ.

40η  Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αριθμοί σε ένα διάστημα, οι οποίοι ικανοποιούν μια σχέση (συνήθως με κάποια πράξη μεταξύ τιμών της παραγώγου).

41η  Να δείξετε ότι ισχύει μια διπλή ανισότητα με αλγεβρικές παραστάσεις ή αριθμούς.

42η  Υπάρχει σχέση για την πρώτη παράγωγο (συνήθως ανισότητα), στα δεδομένα ή και στο ζητούμενο.

43η  Συνδυαστικές ασκήσεις με τα θεωρήματα Bolzano, Rolle και Θ.Μ.Τ.

9η ενότητα  -  Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 2.6 του σχολικού βιβλίου και δημιουργεί δύο πολύ χαρακτηριστικά ζητούμενα στις ασκήσεις: να δειχθεί ότι μία συνάρτηση είναι σταθερή ή να βρεθεί ο τύπος μιας συνάρτησης.

Αν και στον τίτλο της αναφέρεται το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.), στις ασκήσεις αυτό σπάνια συναντάται. Και εδώ θα βοηθήσουν σημαντικά όσα αναφέρθηκαν στην 2η ενότητα του Διαφορικού Λογισμού.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 9ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

44η  Να δείξετε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή.

45η  Να βρείτε τον τύπο μιας συνάρτησης ή να δείξετε ότι είναι κάποιος συγκεκριμένος.

10η ενότητα  -  Μονοτονία (και ακρότατα) συνάρτησης

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα που αναπτύσσονται στις παραγράφους 2.6­-2.7 του σχολικού βιβλίου. Πρόκειται για την σημαντικότερη ενότητα του κεφαλαίου (τολμώ να πω και όλης της ύλης της Γ΄ Λυκείου γενικότερα!), αφού τα θέματά της συνδέονται με πάρα πολλά άλλα θέματα που ήδη αναφέρθηκαν (και που θα αναφερθούν στις δύο τελευταίες ενότητες), ενώ σε συνδυαστικές ασκήσεις δεν λείπουν σχεδόν ποτέ (από τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων δεν λείπουν ποτέ!). Το πώς θα βρεις την μονοτονία (και τα ακρότατα) μιας συνάρτησης, πολύ περισσότερο πώς θα την αξιοποιήσεις όμως σε θέματα που στηρίζονται σε αυτήν, είναι θεμελιώδες στον Διαφορικό Λογισμό αλλά και στην γενική προετοιμασία για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 10ης ενότητας.

Μεθοδολογία για τις ασκήσεις - Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε τεύχος ξεκινάει με αναλυτική παρουσίαση της σχετικής μεθοδολογίας. Ακολουθούν βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

46η  Να βρείτε την μονοτονία (και τα ακρότατα) μιας συνάρτησης.

47η  Να αποδείξετε ότι ισχύει μια ανισότητα με παραστάσεις του x (πρόσημο συνάρτησης).

48η  Να δείξετε ότι ισχύει μια ανισότητα μεταξύ τιμών μιας συνάρτησης (σύγκριση αριθμών).

49η  Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα.

50η  Να βρείτε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης.

51η  Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα.

52η  Να βρείτε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης (ή να δείξετε ότι έχει συγκεκριμένο πλήθος ριζών).

53η  Να λύσετε μια εξίσωση ή να λύσετε μια ανίσωση.

54η  Γενικές ασκήσεις στην μονοτονία.

11η ενότητα  -  Ακρότατα συνάρτησης (ειδικά θέματα)

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 2.7 του σχολικού βιβλίου και συμπληρώνει θέματα της 10ης ενότητας. Κυρίως ασχολείται με ένα ακόμη σημαντικό θεώρημα της Ανάλυσης, το θεώρημα του Fermat, το οποίο συνδέεται με πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις στα ακρότατα.

Στοιχεία από την θεωρία

Διάβασε τα στοιχεία εκείνα της θεωρίας του σχολικού βιβλίου τα οποία αποτελούν την βάση μελέτης της 11ης ενότητας.