Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑ – Τριγωνομετρία

Η Τριγωνομετρία είναι το δεύτερο από τα σημαντικά θέματα που διδάσκονται στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου.

Έχοντας πολλά στοιχεία στην θεωρία της, η Τριγωνομετρία θα σου χρειαστεί πολλές φορές στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου, στην Φυσική... κι ακόμη παραπέρα!

Τι θα διαβάσεις στο «Μαθηματικό στέκι»

Το «Μαθηματικό στέκι» έχει ετοιμάσει για σένα αναλυτικά ebooks με θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων, για κάθε παράγραφο της θεωρίας του σχολικού βιβλίου, καθώς επίσης και λυμένες ασκήσεις.

Σε κάθε παράγραφο μεταφέρεται αυτούσια η θεωρία του σχολικού βιβλίου (η οποία πάντα βρίσκεται εντός απαλής γκρι σκίασης στα ebooks) και εμπλουτίζεται με πολλές συμπληρώσεις, παρατηρήσεις, επισημάνσεις, σχόλια και συνοδευτικά παραδείγματα (όπου αυτό κρίθηκε απαραίτητο).

Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.

Οι 300 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε έντεκα (11) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Όσων ασκήσεων γνώριζα την προέλευση, την κατέγραψα στην εκφώνησή της, ενώ σε όσες δεν δεις αναφορά, η προέλευση μού είναι άγνωστη ή προέρχεται από το προσωπικό μου αρχείο.

Διάβαζε σωστά, διάβαζε αποδοτικά!

Η σωστή σειρά στην μελέτη, είναι η εξής:

1.  Διάβαζε προσεκτικά ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία των ασκήσεων

3.  Μελέτα προσεκτικά τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις

Αφού κάνεις τα παραπάνω -και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα- και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις! Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από την ενασχόλησή σου με ασκήσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.

Για να διευκολύνω την μελέτη σου, χώρισα κάθε παράγραφο στο τεύχος θεωρίας και μεθοδολογίας ασκήσεων (είναι τα βήματα 1 και 2 που προανέφερα) και στα τεύχη ασκήσεων για κάθε κατηγορία (είναι το βήμα 3).

Κάνε σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο

Έχω εμπλουτίσει το σχολικό βιβλίο με πολύ χρήσιμες σημειώσεις που σε συμβουλεύω να κάνεις, διότι θα ξέρεις ποια σημεία είναι σημαντικά, στην θεωρία και τις ασκήσεις.

Πάτησε στην εικόνα του για να δεις και να κάνεις τις σημειώσεις στο βιβλίο σου.

Περιεχόμενα του κεφαλαίου

Το κεφάλαιο αποτελείται από επτά παραγράφους (η σειρά είναι ακριβώς ίδια με του σχολικού βιβλίου) :

Πάτησε στην παράγραφο που σε ενδιαφέρει για να διαβάσεις ό,τι έχει ετοιμάσει για σένα το «Μαθηματικό στέκι».

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Τα ebooks που θα διαβάσεις δεν διατίθενται σε έντυπη μορφή.

Παράγραφος  1  -  Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις:

  • υπενθυμίσεις (από το Γυμνάσιο) για το πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο.
  • για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας μεγαλύτερης των 360 μοιρών και αρνητικών γωνιών (ναι, υπάρχουν και τέτοιες γωνίες).
  • για τον τριγωνομετρικό κύκλο (ο οποίος είναι από τα πλέον βασικά και χρήσιμα «εργαλεία» της Τριγωνομετρίας) και πώς θα τον χρησιμοποιήσεις στις ασκήσεις.
  • για μία νέα μονάδα μέτρησης γωνιών, το ακτίνιο ή rad (δεν είναι και τόσο νέα βέβαια, αφού είχε ήδη αναφερθεί στην Β΄ Γυμνασίου) και πώς η μοίρα και το ακτίνιο, ως μονάδες μέτρησης γωνιών, συνδέονται μεταξύ τους.
  • για έναν πολύ σημαντικό πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς πέντε βασικών γωνιών: των 0, 30, 45, 60 και 90 μοιρών.

Παράγραφος  2  -  Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Στο ebook της θεωρίας θα δεις τους πρώτους και βασικότερους τύπους της Τριγωνομετρίας, οι οποίοι χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στις ασκήσεις (γενικώς, όπου εμπλέκεται η Τριγωνομετρία).

Επίσης, θα δεις πώς θα αντιμετωπίσεις ασκήσεις οι οποίες απαιτούν την χρήση αυτών των τύπων.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  1

Αποδεικτικές ασκήσεις στις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Στις 50 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα δεις μία πολύ χαρακτηριστική ομάδα ασκήσεων, κυρίως όμως πώς κάνεις πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις που έχουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημx, συνx, εφx και σφx.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  2

Ταυτότητες υπό συνθήκη στις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Οι 15 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας έχουν την μορφή «Αν ισχύει..., τότε να δείξετε ότι...». Το πνεύμα αυτών των ασκήσεων δεν συναντάται μόνο σε ασκήσεις της Τριγωνομετρίας βεβαίως. Εδώ θα δεις πώς θα χρησιμοποιήσεις και στοιχεία από την θεωρία της παραγράφου 1.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  3

Εφαρμογές των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

Στις 25 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα δεις πώς θα χρησιμοποιήσεις τους βασικούς τύπους της Τριγωνομετρίας που είδες στην θεωρία της παραγράφου 2, σε συνδυασμό με στοιχεία από την θεωρία της παραγράφου 1.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Παράγραφος  3  -  Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις πώς θα υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας:

  • όταν αυτή είναι μεγαλύτερη των 90 μοιρών, αλλά μικρότερη των 360.
  • όταν αυτή είναι αρνητική.
  • όταν αυτή είναι μεγαλύτερη των 360 μοιρών.

Αυτό, με λίγα λόγια, σημαίνει «αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο». Θα μάθεις τύπους και τεχνικές, οι οποίοι θα μεταφέρουν τα παραπάνω προβλήματα σε γωνίες του πρώτου τεταρτημορίου.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  4

Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

Μέσα από τις 25 ασκήσεις του ebook θα δεις ό,τι ακριβώς αναφέρθηκε παραπάνω για το ebook της θεωρίας. Πρόκειται για πολύ χαρακτηριστικές και πολύ εύκολα αναγνωρίσιμες ασκήσεις.

Παράγραφος  4  -  Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις:

  • πότε μια συνάρτηση ονομάζεται-χαρακτηρίζεται περιοδική.
  • ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
  • τα κυριότερα στοιχεία που πρέπει να γνωρίζεις για τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Λυμένες ασκήσεις δεν διατίθενται για αυτήν την παράγραφο.

Παράγραφος  5  -  Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Στο ebook της θεωρίας θα δεις τους γενικούς τύπους λύσεων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων και θα διαβάσεις, μέσω της αναλυτικής μεθοδολογίας, πώς θα λύσεις μια τριγωνομετρική εξίσωση, το οποίο είναι βασικότατο θέμα στην Τριγωνομετρία (γενικώς το πώς θα λύσεις μια εξίσωση είναι σημαντικό θέμα, σε όποιο κεφάλαιο υπάρχουν τεχνικές επίλυσης εξισώσεων).

Επίσης, θα δεις τις λύσεις όλων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων που θα συναντήσεις στις ασκήσεις, καθώς και μερικές ιδιαίτερες περιπτώσεις (και πώς αντιμετωπίζονται, φυσικά).

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  5

Τριγωνομετρικές εξισώσεις που ανάγονται άμεσα στις βασικές

Στις 20 ασκήσεις θα δεις έναν βασικό τρόπο επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Πρόκειται για εξισώσεις:

  • που είναι εξαρχής παραγοντοποιημένες, δηλαδή εξισώσεις οι οποίες εξαρχής έχουν την μορφή α·β = 0, από όπου (ως γνωστόν) προκύπτει α = 0  ή  β = 0.
  • που μπορούν να παραγοντοποιηθούν και να έρθουν στην μορφή α·β = 0.
  • που έχουν έναν μόνο τριγωνομετρικό αριθμό, ως προς τον οποίο μπορείς να λύσεις την εξίσωση.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  6

Τριγωνομετρικές εξισώσεις που έχουν "σύνθετη" γωνία (όχι απλό x)

Μέσα από 20 ασκήσεις θα δεις μία εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή τριγωνομετρικών εξισώσεων. Είναι οι εξισώσεις εκείνες οι οποίες δεν έχουν «απλή» γωνία x μέσα στον τριγωνομετρικό αριθμό, αλλά γωνία της μορφής α·x  ή  α·x + β, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί (συνήθως ο αριθμός α είναι ακέραιος).

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  7

Τριγωνομετρικές εξισώσεις που λύνονται με αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση)

Σε 20 ασκήσεις θα δεις μία επίσης εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή τριγωνομετρικών εξισώσεων. Είναι οι εξισώσεις εκείνες στις οποίες επαναλαμβάνεται ο ίδιος τριγωνομετρικός αριθμός και που, με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση), ανάγονται σε βασικές πολυωνυμικές εξισώσεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  8

Τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες χρησιμοποιούνται τύποι της Τριγωνομετρίας

Κάτι που είναι απολύτως φυσιολογικό και αναμενόμενο στις τριγωνομετρικές εξισώσεις, είναι η χρήση κάποιου τύπου της Τριγωνομετρίας (τους οποίους είδες στην θεωρία της παραγράφου 2). Αυτό ακριβώς θα δεις στις 20 ασκήσεις του ebook.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  9

Τριγωνομετρικές εξισώσεις οι οποίες ζητείται να λυθούν σε διάστημα

Μία ακόμη πολύ χαρακτηριστική περίπτωση στις τριγωνομετρικές εξισώσεις, είναι να ζητείται να λυθεί η εξίσωση σε κάποιο διάστημα.

Η επίλυση τέτοιας εξίσωσης χωρίζεται σε δύο στάδια, με το δεύτερο να έχει μια μικρή ιδιομορφία στην εκτέλεσή του (θα εξοικειωθείς γρήγορα με το δεύτερο βήμα όμως, μην ανησυχείς). Τέτοιες εξισώσεις θα δεις στις 15 ασκήσεις του ebook.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Παράγραφος  6  -  Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών

Σε αυτό ebook θα δεις μερικούς νέους τύπους της Τριγωνομετρίας, οι οποίοι θα σε βοηθήσουν να δουλέψεις με τριγωνομετρικούς αριθμούς, όταν μέσα τους έχουν άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων γωνιών. Μεθοδολογία δεν υπάρχει, αφού οι ασκήσεις που απαιτούν την χρήση αυτών των τύπων κινούνται στο πνεύμα των ασκήσεων των προηγούμενων παραγράφων.

Οι 45 λυμένες ασκήσεις που θα δεις θα σου δείξουν πώς θα χειριστείς αυτούς τους τύπους.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 10

1.  Θανάσης Κοπάδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 2012-2013, Φροντιστήριο Μ.Ε 19+

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 211 - 230

2.  Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα, 2013-2014, 4ο ΓΛΧ

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 231 - 242

3.  Νίκος Λαμπρόπουλος, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 1994

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 243 - 255

 

Παράγραφος  7  -  Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α

Και σε αυτό ebook θα δεις μερικούς νέους τύπους της Τριγωνομετρίας (τους τελευταίους του κεφαλαίου, αλλά όχι και της Τριγωνομετρίας γενικώς), οι οποίοι θα σε βοηθήσουν να δουλέψεις με τριγωνομετρικούς αριθμούς της «διπλάσιας» και της «μισής» γωνίας. Είναι τύποι που χρειάζονται αρκετή προσοχή και αυτό θα δεις μέσα από τις 45 λυμένες ασκήσεις του ebook.

Μεθοδολογία δεν υπάρχει, αφού οι ασκήσεις που απαιτούν την χρήση αυτών των τύπων κινούνται στο πνεύμα των ασκήσεων των προηγούμενων παραγράφων.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 11

1.  Θανάσης Κοπάδης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 2012-2013, Φροντιστήριο Μ.Ε 19+

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 256 - 270

2.  Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα, 2013-2014, 4ο ΓΛΧ

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 271 - 278

3.  Νίκος Λαμπρόπουλος, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 1994

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 279 - 300

 

Χρειάζεσαι βοήθεια σε κάποιο άλλο μάθημα;

>