Η Τριγωνομετρία είναι το δεύτερο από τα σημαντικά θέματα που διδάσκονται στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου.
Έχοντας πολλά στοιχεία στην θεωρία της, η Τριγωνομετρία θα σου χρειαστεί πολλές φορές στα Μαθηματικά της Γ' Λυκείου, στην Φυσική... κι ακόμη παραπέρα!
Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.
Κάθε παράγραφος περιλαμβάνει:
Με τις σημειώσεις αυτές θα ξέρεις πού υπάρχουν ορισμοί, ποιες προτάσεις - ιδιότητες της θεωρίας είναι σημαντικές, ποιες είναι οι αποδείξεις προτάσεων - ιδιοτήτων. Επίσης, θα ξέρεις ποιες από τις ασκήσεις του είναι βασικές και πρέπει να μπορείς να λύνεις με άνεση.
Επειδή η θεωρία του σχολικού βιβλίου απαιτεί πολλές συμπληρώσεις και εξηγήσεις, στην αναλυτική θεωρία που έχω γράψει θα βρεις όσα χρειάζεσαι καλύτερα οργανωμένα, μαζί με αναλυτική μεθοδολογία για χαρακτηριστικά θέματα ασκήσεων.
Επειδή οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν για την κατανόηση των θεμάτων της παραγράφου, επέλεξα και έλυσα μερικές χαρακτηριστικές ασκήσεις, οι οποίες θα σου δώσουν μια καλύτερη εικόνα των θεμάτων της παραγράφου. Με την σωστή ταξινόμηση που θα δεις, θα κατανοήσεις καλύτερα όσα πρέπει να γνωρίζεις.
Οι 210 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε εννέα (9) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Όσων ασκήσεων γνώριζα την προέλευση, την κατέγραψα στην εκφώνησή της, ενώ σε όσες δεν δεις αναφορά, η προέλευση μού είναι άγνωστη ή προέρχεται από το προσωπικό μου αρχείο.
Περιεχόμενα κεφαλαίου
Διάλεξε αυτό που χρειάζεσαι.
Πώς να μελετάς σωστά και αποτελεσματικά
Διάβαζε με προσοχή ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία
Διάβαζε με προσοχή την μεθοδολογία των ασκήσεων
Μελέτα με προσοχή τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Αφού κάνεις τα παραπάνω (και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα) και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις!
Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από τις ασκήσεις που θα πιάσεις εσύ να λύσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.
Πρώτα να προετοιμάζεσαι σωστά, μετά να πιάνεις να λύσεις ασκήσεις!
Παράγραφος 3.1
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
Θεωρία
Στην θεωρία θα δεις και θα μάθεις:
α) υπενθυμίσεις για το πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο.
β) για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας μεγαλύτερης των 360 μοιρών και αρνητικών γωνιών (ναι, υπάρχουν και τέτοιες γωνίες).
γ) για τον τριγωνομετρικό κύκλο (ο οποίος είναι από τα πλέον βασικά και χρήσιμα «εργαλεία» της Τριγωνομετρίας) και πώς θα τον χρησιμοποιήσεις στις ασκήσεις.
δ) για μία νέα μονάδα μέτρησης γωνιών, το ακτίνιο ή rad (δεν είναι και τόσο νέα βέβαια, αφού είχε ήδη αναφερθεί στην Β' Γυμνασίου) και πώς η μοίρα και το ακτίνιο, ως μονάδες μέτρησης γωνιών, συνδέονται μεταξύ τους.
ε) για έναν πολύ σημαντικό πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς πέντε βασικών γωνιών: των 0, 30, 45, 60 και 90 μοιρών.
Παράγραφος 3.2
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα δεις τους βασικότερους τύπους της Τριγωνομετρίας, οι οποίοι χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στις ασκήσεις (γενικώς, όπου εμπλέκεται η Τριγωνομετρία).
Επίσης, θα δεις πώς θα αντιμετωπίσεις ασκήσεις οι οποίες απαιτούν την χρήση αυτών των τύπων.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 1 ~ Αποδεικτικές ασκήσεις στις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Μέσα από 50 ασκήσεις θα δεις μία πολύ χαρακτηριστική ομάδα ασκήσεων, κυρίως όμως πώς κάνεις πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις οι οποίες έχουν ημx, συνx, εφx και σφx.
Κατηγορία 2 ~ Ταυτότητες υπό συνθήκη στις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Οι 15 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας έχουν την μορφή «Αν ισχύει..., τότε να δείξετε ότι...» (το πνεύμα αυτών των ασκήσεων δεν συναντάται μόνο σε ασκήσεις της Τριγωνομετρίας βεβαίως). Εδώ θα δεις πώς θα χρησιμοποιήσεις και στοιχεία από την θεωρία της παραγράφου 1.
Κατηγορία 3 ~ Εφαρμογές των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Μέσα από 25 ασκήσεις θα δεις πώς θα χρησιμοποιήσεις τους βασικούς τύπους της Τριγωνομετρίας που είδες στην θεωρία της παραγράφου 2, σε συνδυασμό με στοιχεία από την θεωρία της παραγράφου 1.
Παράγραφος 3.3
Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα μάθεις πώς θα υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας:
α) όταν αυτή είναι μεγαλύτερη των 90 μοιρών, αλλά μικρότερη των 360.
β) όταν αυτή είναι αρνητική.
γ) όταν αυτή είναι μεγαλύτερη των 360 μοιρών.
Αυτό, με λίγα λόγια, σημαίνει «αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο». Θα μάθεις τύπους και τεχνικές, οι οποίοι θα μεταφέρουν τα παραπάνω προβλήματα σε γωνίες του πρώτου τεταρτημορίου.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 4 ~ Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο
Μέσα από 25 ασκήσεις θα δεις ό,τι ακριβώς αναφέρθηκε στην θεωρία. Πρόκειται για πολύ χαρακτηριστικές και πολύ εύκολα αναγνωρίσιμες ασκήσεις.
Παράγραφος 3.4
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Θεωρία
Στην θεωρία θα μάθεις:
α) πότε μια συνάρτηση ονομάζεται/χαρακτηρίζεται περιοδική.
β) ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
γ) τα κυριότερα στοιχεία που πρέπει να γνωρίζεις για τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Παράγραφος 3.5
Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα μάθεις τους γενικούς τύπους λύσεων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων και θα μάθεις, μέσω της αναλυτικής μεθοδολογίας, πώς θα λύσεις μια τριγωνομετρική εξίσωση, το οποίο είναι βασικότατο θέμα στην Τριγωνομετρία (γενικώς το πώς θα λύσεις μια εξίσωση είναι σημαντικό θέμα, σε όποιο κεφάλαιο υπάρχουν τεχνικές επίλυσης εξισώσεων).
Επίσης, θα δεις τις λύσεις όλων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων που θα συναντήσεις στις ασκήσεις, καθώς και μερικές ιδιαίτερες περιπτώσεις (και πώς αντιμετωπίζονται, φυσικά).
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 5 ~ Τριγωνομετρικές εξισώσεις οι οποίες ανάγονται άμεσα στις βασικές
Μέσα από 20 ασκήσεις θα δεις έναν βασικό τρόπο επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων. Πρόκειται για εξισώσεις:
α) οι οποίες είναι εξαρχής παραγοντοποιημένες, δηλαδή εξισώσεις οι οποίες εξαρχής έχουν την μορφή α·β=0.
β) οι οποίες μπορούν να παραγοντοποιηθούν και να έρθουν στην μορφή α·β=0.
γ) οι οποίες έχουν έναν μόνο τριγωνομετρικό αριθμό, ως προς τον οποίο μπορείς να λύσεις την εξίσωση.
Κατηγορία 6 ~ Τριγωνομετρικές εξισώσεις οι οποίες έχουν (και) «σύνθετη» γωνία (όχι απλό x)
Μέσα από 20 ασκήσεις θα δεις μία εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή τριγωνομετρικών εξισώσεων. Είναι οι εξισώσεις εκείνες οι οποίες δεν έχουν «απλή» γωνία x μέσα στον τριγωνομετρικό αριθμό, αλλά γωνία της μορφής αx ή αx+β, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί (συνήθως ο αριθμός α είναι ακέραιος).
Κατηγορία 7 ~ Τριγωνομετρικές εξισώσεις οι οποίες λύνονται με αλλαγή μεταβλητής
Μέσα από 20 ασκήσεις θα δεις μία επίσης εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή τριγωνομετρικών εξισώσεων. Είναι οι εξισώσεις εκείνες στις οποίες επαναλαμβάνεται ο ίδιος τριγωνομετρικός αριθμός και οι οποίες, με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση), ανάγονται σε βασικές πολυωνυμικές εξισώσεις.
Κατηγορία 8 ~ Τριγωνομετρικές εξισώσεις στις οποίες χρησιμοποιούνται τύποι της Τριγωνομετρίας
Κάτι που είναι απολύτως φυσιολογικό και αναμενόμενο στις τριγωνομετρικές εξισώσεις, είναι η χρήση κάποιου τύπου της Τριγωνομετρίας (θεωρία παραγράφου 3.2). Αυτό ακριβώς θα δεις στις 20 ασκήσεις του e-book.
Κατηγορία 9 ~ Τριγωνομετρικές εξισώσεις οι οποίες ζητείται να λυθούν σε διάστημα
Μία ακόμη πολύ χαρακτηριστική περίπτωση, είναι η εξίσωση να ζητείται να λυθεί σε κάποιο διάστημα.
Η επίλυση τέτοιας εξίσωσης χωρίζεται σε δύο στάδια, με το δεύτερο να έχει μια μικρή ιδιομορφία στην εκτέλεσή του (θα εξοικειωθείς γρήγορα με το δεύτερο βήμα όμως, μην ανησυχείς). Τέτοιες εξισώσεις θα δεις στις 15 ασκήσεις του ebook.