Το κεφάλαιο των ευθειών είναι ίσως το σημαντικότερο κεφάλαιο στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β' Λυκείου, αφού θα το χρειαστείς πάρα πολλές φορές σε όσα θα διδαχθείς στην Γ' Λυκείου.
Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.
Τι θα βρεις στο κεφάλαιο
Με τις σημειώσεις αυτές θα ξέρεις πού υπάρχουν ορισμοί, ποιες προτάσεις - ιδιότητες της θεωρίας είναι σημαντικές, ποιες είναι οι αποδείξεις προτάσεων - ιδιοτήτων.
Επειδή η θεωρία του σχολικού βιβλίου απαιτεί πολλές συμπληρώσεις και εξηγήσεις, στην αναλυτική θεωρία που έχω γράψει θα βρεις όσα χρειάζεσαι καλύτερα οργανωμένα, μαζί με αναλυτική μεθοδολογία για χαρακτηριστικά θέματα ασκήσεων.
Επειδή οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν για την κατανόηση των θεμάτων της παραγράφου, επέλεξα και έλυσα μερικές χαρακτηριστικές ασκήσεις, οι οποίες θα σου δώσουν μια καλύτερη εικόνα των θεμάτων της παραγράφου.
Οι 205 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε πέντε (5) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Η προέλευση κάθε άσκησης καταγράφεται στην βιβλιογραφία.
Αναλυτικότατες λύσεις όλων των θεμάτων που αντιστοιχούν στην συγκεκριμένη παράγραφο. Η προσεκτική μελέτη τους θα σε βοηθήσει να αποβάλεις το άγχος και τον φόβο.
Περιεχόμενα κεφαλαίου
Διάλεξε αυτό που χρειάζεσαι.
Πώς να μελετάς σωστά και αποτελεσματικά
Διάβαζε με προσοχή ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία
Διάβαζε με προσοχή την μεθοδολογία των ασκήσεων
Μελέτα με προσοχή τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Αφού κάνεις τα παραπάνω (και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα) και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις!
Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από τις ασκήσεις που θα πιάσεις εσύ να λύσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.
Πρώτα να προετοιμάζεσαι σωστά, μετά να πιάνεις να λύσεις ασκήσεις!
Παράγραφος 1
Εξίσωση ευθείας
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία και μεθοδολογία της παραγράφου θα μάθεις:
1. πώς ορίζεται η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα x'x και πώς ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (κλίση της ευθείας).
2. ποια είναι η συνθήκη παραλληλίας και ποια η συνθήκη καθετότητας δύο ευθειών.
3. πώς θα βρεις τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας, κάτι που είναι απαραίτητο σχεδόν σε όλες τις ασκήσεις στις ευθείες.
4. πώς θα βρεις την εξίσωση μιας ευθείας, το οποίο είναι η καρδιά των θεμάτων όλου του κεφαλαίου.
5. πώς θα σχεδιάσεις μια ευθεία σε σύστημα συντεταγμένων.
6. πώς θα βρεις τα σημεία τομής μιας ευθείας με τους άξονες x'x και y'y.
7. πώς θα βρεις το σημείο τομής δύο ευθειών (αν υπάρχει).
8. πώς θα χειριστείς θέματα τα οποία εμπλέκουν το τρίγωνο που σχηματίζει μια ευθεία με τους άξονες x'x και y'y.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 1
Τα θέματα των ασκήσεων είναι τα ακόλουθα:
1. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας.
2. Συνθήκη παραλληλίας, συνθήκη καθετότητας δύο ευθειών.
3. Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 (όχι με παραμετρικούς συντελεστές).
4. Το τρίγωνο που σχηματίζει μια ευθεία με τους άξονες.
Επειδή οι ασκήσεις είναι πολλές, τις χώρισα σε δύο e-books.
Παράγραφος 2
Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία και αναλυτική μεθοδολογία θα μάθεις πώς θα δουλέψεις σε μια άσκηση, όταν εμφανίζεται εξίσωση της μορφής Ax+By+Γ=0 και Α, Β, Γ είναι παραμετρικές παραστάσεις.
Ειδικότερα, θα μάθεις:
1. πώς θα δείξεις ότι αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε τιμή της παραμέτρου.
2. πώς θα βρεις την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε αυτή η εξίσωση να παριστάνει ευθεία.
3. πώς θα δείξεις ότι οι ευθείες που παριστάνει μια τέτοια παραμετρική εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο (και πώς θα το βρεις).
4. πώς θα αντιμετωπίσεις θέματα παραλληλίας και καθετότητας ευθειών, όταν δίνεται εξίσωση τέτοιας μορφής.
Επίσης, θα μάθεις για το διάνυσμα που είναι παράλληλο σε μια ευθεία και πώς αυτό θα σε βοηθήσει να αντιμετωπίσεις κάποια θέματα ευθειών (π.χ. παραλληλία/καθετότητα ευθειών, πώς θα βρεις την οξεία γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους δύο τεμνόμενες ευθείες).
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 2
Τα θέματα των ασκήσεων είναι τα ακόλουθα:
1. Η εξίσωση Ax+By+Γ=0 (με παραμετρικούς συντελεστές).
2. Ευθείες που διέρχονται από σταθερό σημείο.
3. Σχετική θέση δύο ευθειών.
4. Διάνυσμα παράλληλο, διάνυσμα κάθετο σε μια ευθεία.
5. Οξεία γωνία δύο ευθειών.
Παράγραφος 3
Εμβαδόν τριγώνου
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία και μεθοδολογία θα μάθεις:
1. τον τύπο που δίνει την απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία και πώς θα τον συναντήσεις στις ασκήσεις.
2. τον τύπο που δίνει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου στο επίπεδο και πώς θα τον συναντήσεις στις ασκήσεις.
3. τον τύπο που δίνει την απόσταση δύο παράλληλων μεταξύ τους ευθειών.
4. πώς θα βρεις την μεσοπαράλληλη δύο ευθειών, όταν είναι γνωστή η μεταξύ τους απόσταση.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 3
Τα θέματα των ασκήσεων είναι τα ακόλουθα:
1. Απόσταση σημείου από ευθεία.
2. Απόσταση παράλληλων ευθειών.
3. Μεσοπαράλληλη δύο ευθειών (με γνωστή την μεταξύ τους απόσταση).
Παράγραφος 4
Γεωμετρικοί τόποι στις ευθείες
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία και μεθοδολογία θα διαβάσεις για ένα πολύ χαρακτηριστικό θέμα στις ασκήσεις των ευθειών, που είναι οι γεωμετρικοί τόποι: τι είναι γεωμετρικός τόπος και πώς τα θέματα των ευθειών σχετίζονται.
Στο σχολικό βιβλίο υπάρχουν ελάχιστες ασκήσεις, αλλά εδώ θα διαβάσεις αναλυτικότατες παρατηρήσεις και μεθοδολογία για τις ασκήσεις.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 4 ~ Γεωμετρικοί τόποι στις ευθείες
Θέμα πολύ χαρακτηριστικό και ξεχωριστό, το οποίο θα συναντήσεις και σε ασκήσεις της Γ' Λυκείου. Οι αναλυτικά λυμένες ασκήσεις που θα δεις θα σε βοηθήσουν να το κατανοήσεις.
Γενικές ασκήσεις στις ευθείες
25 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις θα σου δώσουν μια πολύ καλή γεύση από το ύφος των θεμάτων που μπαίνουν στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις.
Να τις προσέξεις όλες πολύ! Είναι λυμένες βήμα προς βήμα και ταυτόχρονα σού δείχνουν πώς θα πρέπει και εσύ να παρουσιάσεις την λύση τέτοιας άσκησης.
Λύσεις ασκήσεων από την Τράπεζα Θεμάτων
Οι ασκήσεις προέρχονται από το 2ο θέμα της Τράπεζας.
Η μελέτη των λύσεων πρέπει να έχει τους εξής στόχους:
1. να κατανοείς τι γίνεται σε κάθε βήμα της λύσης.
2. να μπορείς να αναγνωρίζεις ποια στοιχεία της θεωρίας εμφανίζονται κατά την πορεία.
3. να μπορείς να αναγνωρίζεις χαρακτηριστικές μεθοδολογίες, όταν πρόκειται για θέμα το οποίο έχει συγκεκριμένο τρόπο αντιμετώπισης.
Βιβλιογραφία - πηγές ασκήσεων
Οι λυμένες ασκήσεις που διάβασες στα e-books προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία του διαδικτύου. Μπορείς να τις δεις πατώντας στο πλαίσιο παρακάτω και σου συστήνω να αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου τα αρχεία που θα βρεις.
Η βιβλιογραφία καλύπτει όλες τις ασκήσεις που υπάρχουν στο βιβλίο που έγραψα για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου, όχι μόνο του παρόντος κεφαλαίου.
1. Θεόδωρος Παγώνης, Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 2015 - 2016.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2015/09/2015-16.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=1RKswMy4t-d5pCgCDL8CmvbtIGg8K2ksH
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
1-15 , 33-34 , 40 , 42 , 49 , 51 , 74-75 , 79-80 , 83-85 , 87-88 , 106-110 , 118-120 , 174-175 , 182 , 184 , 186 , 281-335 , 366-390 ,
511-515 , 546-574 , 591-650.
2. Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Β΄ Λυκείου, Διανύσματα - Ευθεία - Κύκλος, Αναλυτική θεωρία, 500 ασκήσεις.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2017/09/blog-post_16.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=16F2f1Cqn1w2i9uc6L8Z2a3gu5YYo5S7g
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
22 , 27-28 , 35 , 58-60 , 70-73 , 121-125 , 133-134 , 151-160 , 178 , 196-200 ,363 , 391-400 , 431 , 434 , 503-510 , 531.
3. Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου, 210 ενδοσχολικά θέματα.
Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2018/04/blog-post_20.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=11wuT3uBBr3WIsXBgVTFAoBPduEbaRX_I
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
201 , 203-230 , 432-433 , 435 , 532-545.
4. Ν. Σ. Μαυρογιάννης, Τάξη Β΄, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Πειραματικό Λύκειο της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης, Σχολικό έτος 2007-2008.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://www.nsmavrogiannis.gr/notes%20etc/notesa.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=1CQiJohyk2d_YSySPubauQVPtikC_AuMo
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
37-38 , 53 , 67-68 , 81 , 148-150 , 231-260 , 336-342 , 356-358 , 436-442.
5. Τράπεζα Θεμάτων Υπουργείου Παιδείας (παλαιότερη έκδοσή της).
202.
6. Προσωπικό αρχείο και ιδιοκατασκευές του συγγραφέα.
16-20 , 23-26 , 29-30 , 31-32 , 39 , 41 , 43-45 , 46-48 , 50 , 52 , 54-57 , 61-66 , 69 , 76-78 , 82 , 86 , 89-105 , 111-117 , 126-132 ,
136-147 , 161-173 , 176-177 , 179-181 , 183 , 185-195 , 261-280 , 343-355 , 359-362 , 364-365 ,401-430 , 443-475 , 476-500 ,
501-502 , 516-530 , 575-590.
Το προσωπικό μου αρχείο αποτελείται από παλιά μου φυλλάδια και φωτοτυπίες που είχα συλλέξει από σχολικά φυλλάδια, φροντιστηριακά φυλλάδια και σημειώσεις άλλων καθηγητών (όχι διαδικτυακές) στο παρελθόν. Η προέλευση των ασκήσεων αυτών δεν μου είναι γνωστή.