7ο μάθημα
Παράγραφος 7
Θεώρημα του Rolle
Το θεώρημα του Rolle έχει ομοιότητες με το θεώρημα του Bolzano (κεφάλαιο ορίων), έχει όμως και διαφορές. Είναι εξίσου σημαντικό με το θεώρημα του Bolzano και το ύφος των ασκήσεων που αντιμετωπίζονται με το θεώρημα του Rolle έχει έντονα αναγνωριστικά σημάδια. Κάποια σημάδια μοιάζουν πολύ με τα αντίστοιχα των ασκήσεων του θεωρήματος Bolzano και εδώ θα μάθεις ποιο από τα δύο θεωρήματα θα χρησιμοποιήσεις. Η εμπειρία που απέκτησες από τις ασκήσεις του θεωρήματος Bolzano θα σε βοηθήσει στις ασκήσεις αυτής της ενότητας.
Πάτησε στην σχετική καρτέλα για να δεις τι θα μάθεις στην παράγραφο 7 και ποια θέματα υπάρχουν στις λυμένες ασκήσεις.
Τι θα μάθεις στην θεωρία
Θα μάθεις πώς διατυπώνεται το θεώρημα του Rolle και τι συμπέρασμα δίνει. Όπως και στο θεώρημα του Bolzano, να προσέξεις πολύ τις ισοδύναμες διατυπώσεις του συμπεράσματος του θεωρήματος, διότι θα τις συναντάς στις ασκήσεις.
Τέλος, θα δεις πέντε σημαντικές προτάσεις οι οποίες στηρίζονται στο θεώρημα του Rolle. Οι προτάσεις αυτές δεν αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο, γι' αυτό και θα δεις την απόδειξη κάθε πρότασης.
Όσα θα μάθεις εδώ αφορούν θέματα της παραγράφου 2.5 του σχολικού βιβλίου.
Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία
Διάβασε και μάθε την θεωρία όπως πρέπει:
Με αναλυτική παρουσίαση και πολύ καλύτερη επεξήγηση, οργανωμένα, με αρκετά συνοδευτικά παραδείγματα.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Μελέτησε προσεκτικά τις αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις, κατανόησε και εμπλούτισε όσα διάβασες στην θεωρία.
Κατηγορία 7 ~ Θεώρημα του Rolle
1η ομάδα ~ Να εξετάσετε αν/να δείξετε ότι/ξέρετε ότι μια συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle σε ένα διάστημα ή να βρείτε τις τιμές παραμέτρων, ώστε μια συνάρτηση να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle.
2η ομάδα ~ Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα ανοικτό διάστημα.
3η ομάδα ~ Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός ενός ανοικτού διαστήματος, ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση.
4η ομάδα ~ Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα (γενικώς, το πολύ κ ρίζες).
5η ομάδα ~ Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα).
6η ομάδα ~ Στο ζητούμενο εμφανίζεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης.