10ο μάθημα
Παράγραφος 10
Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης
Πρόκειται για την σημαντικότερη παράγραφο του κεφαλαίου (τολμώ να πω και όλης της ύλης της Γ' Λυκείου γενικότερα), αφού η μονοτονία μιας συνάρτησης συνδέεται με πάρα πολλά άλλα θέματα που ήδη αναφέρθηκαν (αρκετά τα είδες ήδη στο κεφάλαιο των ορίων), ενώ σε συνδυαστικές ασκήσεις σπανίως λείπουν (από τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων δεν λείπουν ποτέ).
Πώς θα βρεις την μονοτονία και τα ακρότατα μιας συνάρτησης, πολύ περισσότερο πώς θα την αξιοποιήσεις όμως σε θέματα που στηρίζονται σε αυτήν, είναι θεμελιώδες στον Διαφορικό Λογισμό, αλλά και στην γενική προετοιμασία για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις.
Πάτησε στην σχετική καρτέλα για να δεις τι θα μάθεις στην παράγραφο 10 και ποια θέματα υπάρχουν στις λυμένες ασκήσεις.
Τι θα μάθεις στην θεωρία
Θα ξαναδείς τους ορισμούς της γνησίως αύξουσας και γνησίως φθίνουσας συνάρτησης, καθώς και σημαντικές παρατηρήσεις επ' αυτών. Στην συνέχεια, θα μάθεις πότε μια συνάρτηση έχει ολικό και πότε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της.
Επίσης, θα μάθεις ένα ακόμη σημαντικό θεώρημα της Ανάλυσης, το θεώρημα του Fermat, και ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης.
Το κυριότερο μέρος της ενότητας, όμως, αναπτύσσεται στην μεθοδολογία. Εκεί θα μάθεις ποια θέματα ασκήσεων αντιμετωπίζονται με την μονοτονία και τα ακρότατα συνάρτησης, και πώς.
Τόσο αναλυτικά, πολύ δύσκολα θα τα βρεις αλλού!
Όσα θα μάθεις εδώ αφορούν θέματα των παραγράφων 2.6 και 2.7 του σχολικού βιβλίου.
Αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία
Διάβασε και μάθε την θεωρία όπως πρέπει:
Με αναλυτική παρουσίαση και πολύ καλύτερη επεξήγηση, οργανωμένα, με αρκετά συνοδευτικά παραδείγματα.
Αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Μελέτησε προσεκτικά τις αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις, κατανόησε και εμπλούτισε όσα διάβασες στην θεωρία.
Κατηγορία 10 ~ Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης
1η ομάδα ~ Να βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα μιας συνάρτησης.
Α. Με πολυωνυνικές, ρητές, τριγωνομετρικές και άρρητες συναρτήσεις. Με συναρτήσεις διπλού τύπου.
Β. Με συναρτήσεις οι οποίες έχουν εκθετικούς ή/και λογαριθμικούς όρους (και συναρτήσεις διπλού τύπου).
2η ομάδα ~ Να δείξετε ότι ισχύει μια ανισότητα με παραστάσεις του x.
Κατηγορία 10 ~ Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης
3η ομάδα ~ Να δείξετε ότι ισχύει μια ανισότητα μεταξύ τιμών μιας συνάρτησης (σύγκριση αριθμών).
4η ομάδα ~ Να δίνεται ότι ισχύει μια ανισοϊσότητα με παραστάσεις του x (θεώρημα Fermat).
5η ομάδα ~ Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα.
6η ομάδα ~ Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μια συνάρτηση να έχει ακρότατο σε συγκεκριμένη θέση (θεώρημα Fermat).
7η ομάδα ~ Να βρείτε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης.
8η ομάδα ~ Να δείξετε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα.