«Θα γράψετε διαγώνισμα, να κάνετε επανάληψη».
Η έκφραση αμέσως προκαλεί άγχος και φόβο, είναι γνωστό, και κανένας μας δεν εξαιρείται από αυτήν την στρεσογόνο κατάσταση.
Είτε πρόκειται για διαγώνισμα είτε για τις επαναλήψεις που πρέπει να κάνεις στα όρια στην πορεία σου προς τις Πανελλήνιες Εξετάσεις, θα πελαγώσεις, το ξέρω. Θα περάσει από μπροστά σου το πλήθος των θεμάτων που είδες στο κεφάλαιο και θα βρεθείς σε κατάσταση πανικού, μερικού ή και ολικού ακόμη. Τα ερωτήματα πέφτουν βροχή:
«Και πώς θα κάνω επανάληψη;»
«Τι να πρωτοδιαβάσω; Είναι τόσα πολλά!»
«Ποια είναι τα πιο SOS;»
Είναι φυσιολογική αυτή η πρώτη αντίδραση, μην ανησυχείς. Κάθε εξέταση δημιουργεί άγχος. Όταν βάλεις τα πράγματα στην σωστή σειρά όμως, η κατάσταση θα αρχίσει να βελτιώνεται δραματικά.
Γι' αυτό, ψυχραιμία!
Και ποια είναι η σωστή σειρά;
Η σωστή σειρά δεν είναι κάτι που εφαρμόζουμε μόνο στα Μαθηματικά φυσικά. Γενικώς οι ενέργειές σου πρέπει να έχουν κάποια σειρά, την κατάλληλη σειρά, για να φέρουν καλό αποτέλεσμα.
Αυτό προϋποθέτει:
• ψυχραιμία, ώστε να καταλάβεις ποιες είναι οι ανάγκες της κατάστασης την οποία πρέπει να αντιμετωπίσεις,
• οργάνωση, δηλαδή να καταστρώσεις το κατάλληλο σχέδιο δράσης και να βάλεις την σωστή σειρά στις ενέργειές σου.
Σε μεγάλο βαθμό, η σωστή σειρά είναι υποκειμενικό θέμα. Δηλαδή, δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση στην ερώτηση «Ποια είναι η σωστή σειρά;». Άλλη είναι για το άλφα θέμα και άλλη για το βήτα. Και, για να αρχίσω να γίνομαι πιο συγκεκριμένος, άλλη είναι η σωστή σειρά για την επανάληψη στα όρια, άλλη για τον Διαφορικό Λογισμό, άλλη για την Έκθεση και πάει λέγοντας.
Πάμε «στο ψητό», επομένως.
Πάμε να δούμε πώς θα κάνεις σωστή επανάληψη στα όρια, ποια είναι τα σωστά βήματα που έχω να σου προτείνω και τι ιδιαίτερο να κάνεις στο καθένα.
1 - Χώρισε το κεφάλαιο σε επιμέρους ενότητες
Βασικό βήμα!
Το να χωρίσεις το κεφάλαιο σε μικρότερα κομμάτια είναι πολύ σημαντικό, διότι έτσι θα κάνεις την επανάληψή σου στοχευμένη, άρα αποδοτική.
Σκέψου το εξής απλό και καθημερινό:
Το ψωμί δεν μπορείς να το φας ολόκληρο. Ούτε το μισό χωράει το στόμα σου. Ούτε το ένα τέταρτο.
Το κόβεις σε φέτες. Και τις φέτες δεν μπορείς να βάλεις ολόκληρες στο στόμα σου, γι’ αυτό τις κόβεις σε μπουκιές. Και δεν κινδυνεύεις να πνιγείς και καταλαβαίνεις καλύτερα την γεύση του και τρως το ψωμί που πρέπει.
Έτσι θα «φας» και ένα κεφάλαιο της ύλης, όταν αυτό έχει ολοκληρωθεί και πρέπει να κάνεις επανάληψη.
Το «κόβεις» σε «φέτες», σε επιμέρους ενότητες δηλαδή.
Κάθε ενότητα πραγματεύεται και ένα γενικό θέμα, το οποίο με την σειρά του χωρίζεται σε επιμέρους θέματα. Κατάγραψε ποιο είναι το γενικό θέμα και ποια τα επιμέρους.
Έτσι ξεκινάει η σωστή επανάληψη:
με σωστή οργάνωση και σωστή κατανομή της δουλειάς που πρέπει να γίνει.
Και επειδή το κεφάλαιο των ορίων είναι ιδιαιτέρως πλούσιο σε θέματα, η σωστή οργάνωση και κατανομή μόνο μπορούν να σου δώσουν το καλό αποτέλεσμα που επιθυμείς από την επανάληψη.
2 - Βάλε την σωστή σειρά στην μελέτη κάθε ενότητας
Η σωστή σειρά είναι η ακόλουθη:
Α. Θεωρία
Πάντα και πρώτα να ξαναδιαβάζεις την θεωρία, προσεκτικά και με κάθε λεπτομέρεια όμως.
Β. Κατηγορίες ασκήσεων - Μεθοδολογία ασκήσεων
Μετά να διαβάζεις και να γνωρίζεις καλά ποιες κατηγορίες ασκήσεων υπάρχουν στην ενότητα, και την μεθοδολογία κάθε κατηγορίας.
Είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζεις ποια θέματα αντιμετωπίζονται με την σχετική θεωρία (αυτό προκύπτει από τους τίτλους κάθε κατηγορίας ασκήσεων) και πώς αυτά αντιμετωπίζονται (αυτό προκύπτει από την σχετική μεθοδολογία).
Γ. Λυμένες ασκήσεις
Στο τέλος να διαβάζεις επιλεγμένες λυμένες ασκήσεις:
- βασικές, μέσω των οποίων θα θυμηθείς την βασική μεθοδολογία,
- πιο απαιτητικές, μέσω των οποίων θα δεις λεπτά θέματα της θεωρίας και ιδιομορφίες που εμφανίζονται στις ασκήσεις.
Προσοχή!
Μην χάνεις πολύτιμο χρόνο και ενέργεια ξαναλύνοντας ασκήσεις οι οποίες είναι ήδη λυμένες!
Μελέτα προσεκτικά τις λύσεις και κράτα σημειώσεις, αν και όπου χρειαστεί.
Σε ποιες ενότητες να χωρίσεις το κεφάλαιο
Στο βιβλίο που έχω γράψει για τα όρια (μπορείς να το διαβάσεις δωρεάν εδώ) έχω ήδη κάνει αυτόν τον διαχωρισμό για σένα. Οι ενότητές του θα σου δώσουν μια εξαιρετική οργάνωση για την επανάληψη του κεφαλαίου και θα μεγιστοποιήσουν την κατανόηση των θεμάτων του.
Για την επανάληψή σου στα όρια, χώρισε το κεφάλαιο στις εξής ενότητες:
Ενότητα 2 ~ Όριο συνάρτησης - «Υπολογιστικά» θέματα ορίων
Ενότητα 3 ~ Όριο συνάρτησης - «Θεωρητικά» θέματα ορίων
Ενότητα 4 ~ Συνέχεια συνάρτησης
Ενότητα 5 ~ Θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης
Συνέχισε την ανάγνωση για να δεις αναλυτικά ποια θέματα υπάρχουν σε κάθε ενότητα και τι πρέπει να ξεκαθαρίσεις κατά την επανάληψη που θα κάνεις.
Εναλλακτικά, πάτησε μόνο στην ενότητα που σε ενδιαφέρει.
Ας δούμε, λοιπόν, ποια θέματα πρέπει να προσέξεις σε κάθε ενότητα.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1
Συναρτήσεις
Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως:
1. Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, απλού και πολλαπλού τύπου
Πώς θα το βρίσκεις χωρίς να δυσκολεύεσαι καθόλου. Είναι το πρώτο και πολύ βασικό στοιχείο σε μια άσκηση. Απαιτείται επανάληψη σε εξισώσεις και ανισώσεις από την Άλγεβρα της Α' και Β' Λυκείου για ό,τι δεν θυμάσαι.
Αν χρειάζεσαι βοήθεια σε κάτι που δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις, θα την βρεις εδώ.
2. Γραφικές παραστάσεις
• Για μία συνάρτηση: Ποιες είναι οι βασικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις, κοινά σημεία με τους άξονες, σχετική θέση ως προς τον άξονα x'x.
• Για δύο συναρτήσεις: Κοινά τους σημεία, σχετική τους θέση.
• Για μία συνάρτηση και μία ευθεία: Κοινά τους σημεία, σχετική τους θέση.
• Πώς θα αντλήσεις πληροφορίες από μία γραφική παράσταση.
3. Άρτια και περιττή συνάρτηση
Πώς θα το εξετάσεις, πώς θα το αποδείξεις, πώς θα το αξιοποιήσεις όταν το ξέρεις.
4. Ισότητα δύο συναρτήσεων
Πώς θα το εξετάσεις, πώς θα το αποδείξεις, πώς θα το αξιοποιήσεις όταν το ξέρεις.
5. Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο δύο συναρτήσεων
Πώς θα βρεις την συνάρτηση η οποία προκύπτει από την σχετική πράξη.
6. Σύνθεση δύο συναρτήσεων
• Πώς θα βρεις την σύνθεση δύο συναρτήσεων (βασικό είναι το πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού της σύνθεσης).
• Πώς θα αναγνωρίσεις ότι μια συνάρτηση είναι σύνθεση δύο (ή περισσότερων) άλλων συναρτήσεων και ποιών.
• Πώς θα βρεις τον τύπο της f (ή της g), όταν δίνεται ο τύπος της f o g (ή της g o f).
7. Μονοτονία συνάρτησης
Τα θέματα αυτής της ενότητας υπάρχουν σχεδόν αυτούσια στην αντίστοιχη ενότητα του Διαφορικού Λογισμού και εκεί πρέπει να δώσεις την μέγιστη βαρύτητα.
Από τα σχετικά θέματα του κεφαλαίου των ορίων, πρόσεξε τα ακόλουθα κατά την επανάληψή σου:
• Πώς θα βρεις την μονοτονία μιας συνάρτησης όταν δεν δίνεται ο τύπος της, αλλά μια ιδιότητα που αυτή έχει.
• Πώς θα αξιοποιήσεις την μονοτονία με χρήση του ορισμού (π.χ., αν α<β και η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f(α)<f(β) και αντίστροφα).
• Πώς θα χρησιμοποιήσεις την μονοτονία για να αποδείξεις ανισότητα (τα ίδια θέματα θα δεις και στον Διαφορικό Λογισμό, αλλά θα σε βοηθήσουν πολύ και τα αντίστοιχα θέματα του κεφαλαίου των ορίων).
• Πώς θα χρησιμοποιήσεις την μονοτονία για να λύσεις εξίσωση ή ανίσωση (ισχύει το σχόλιο που έκανα παραπάνω για τις ανισότητες).
8. Συνάρτηση 1-1 και αντίστροφη συνάρτηση
• Πώς θα εξετάσεις και πώς θα αποδείξεις ότι μια συνάρτηση είναι 1-1.
• Τι να κάνεις όταν ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι 1-1.
• Χαρακτηριστικές εξισώσεις οι οποίες λύνονται με την ιδιότητα 1-1.
• Πώς θα βρεις την αντίστροφη μιας συνάρτησης.
• Χαρακτηριστικά θέματα με την αντίστροφη.
Τα θέματα της ενότητας 1 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην ενότητα 1 στο δωρεάν βιβλίο μου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2
Όριο συνάρτησης - «Υπολογιστικά» θέματα ορίων
Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως πώς θα υπολογίσεις ένα όριο, όταν είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης. Επίσης, να είναι εντελώς ξεκάθαρο ποιες είναι οι απροσδιοριστίες που είδες στο κεφάλαιο των ορίων και πώς αντιμετωπίζεται καθεμία.
1. Απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν»
α) Με ρητές συναρτήσεις (δηλαδή κλάσματα τα οποία έχουν πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή).
β) Με ρίζες (κυρίως με τετραγωνικές ρίζες).
γ) Με τριγωνομετρικές συναρτήσεις (τριγωνομετρικά όρια).
δ) Με συνάρτηση διπλού τύπου (γενικώς, πολλαπλού τύπου).
ε) Με απόλυτες τιμές.
2. Απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν»
Ο τρόπος υπολογισμού ορίου με απροσδιοριστία αυτής της μορφής είναι ξεχωριστός και ιδιαίτερος. Δεν υπάρχει «αδελφή» μέθοδος, σε αντίθεση με άλλες απροσδιοριστίες οι οποίες ενίοτε αντιμετωπίζονται με διάφορους τρόπους.
3. Όριο στο άπειρο
α) Με πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις.
β) Με απόλυτες τιμές.
γ) Απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο» με ρίζες (κυρίως τετραγωνικές).
δ) Απροσδιοριστία «συν άπειρο πλην άπειρο» με ρίζες (κυρίως τετραγωνικές).
ε) Εκθετικά και λογαριθμικά όρια στο άπειρο.
στ) Τριγωνομετρικά άρια στο άπειρο.
Τα θέματα της ενότητας 2 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην ενότητα 2 στο δωρεάν βιβλίο μου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3
Όριο συνάρτησης - «Θεωρητικά» θέματα ορίων
Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως πώς υπολογίζεις ένα όριο, όταν μέσα σε αυτό έχεις κάποια συνάρτηση f(x) χωρίς να γνωρίζεις τον τύπο της (να το πω πιο απλά, όταν έχεις τον συμβολισμό f(x) μέσα στο όριο).
Θυμήσου και ξεκαθάρισε τα ακόλουθα θέματα (ισχύουν για τις απροσδιοριστίες «μηδέν διά μηδέν», «αριθμός διά μηδέν» και τα όρια στο άπειρο):
1. Γενικά θέματα στα «θεωρητικά» όρια
Δύσκολο να τα περιγράψω, είναι η αλήθεια. Γι’ αυτό, σου συστήνω να τα δεις αναλυτικά εδώ, στην 3η ενότητα, 1η παράγραφο, 12η κατηγορία ασκήσεων, 1η ομάδα.
Είναι θέματα και τεχνικές που συναντώνται σε πολλές περιπτώσεις σε υπολογισμούς «θεωρητικών» ορίων, είτε το x τείνει σε αριθμό είτε στο άπειρο.
2. Εύρεση παραμέτρου, ώστε ένα όριο να υπάρχει ή να έχει γνωστή τιμή
Από τα κλασικά και αγαπημένα θέματα στις ασκήσεις η εύρεση των τιμών μιας παραμέτρου ώστε να ικανοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις. Εδώ θα θυμηθείς πώς αυτά αντιμετωπίζονται στα όρια.
3. Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης, η οποία βρίσκεται μέσα σε άλλο όριο με γνωστή τιμή
Από τα πλέον χαρακτηριστικά και εύκολα αναγνωρίσιμα θέματα στα «θεωρητικά» όρια. Πολλοί συνάδελφοι χρησιμοποιούν τον όρο «βοηθητική συνάρτηση».
4. Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης και δίνεται ανισότητα, διπλή ή μονή
Στην περίπτωση της διπλής ανισότητας, έχουμε το πολύ χαρακτηριστικό Κριτήριο Παρεμβολής.
Επίσης, εδώ θα πρέπει να θυμηθείς και πώς υπολογίζονται μερικά πολύ χαρακτηριστικά τριγωνομετρικά όρια με την βοήθεια του Κριτηρίου Παρεμβολής και όχι με τις τεχνικές που είδες στα «υπολογιστικά» θέματα των ορίων και τα τριγωνομετρικά όρια.
Τα θέματα της ενότητας 3 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην ενότητα 3 στο δωρεάν βιβλίο μου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4
Συνέχεια συνάρτησης
Εδώ, όλη η δουλειά γίνεται βασικά με τον ορισμό της συνέχειας σε σημείο.
Από εκεί και μετά, τα θέματα αντιμετωπίζονται με ό,τι είδες σε τεχνικές υπολογισμού ορίων, «υπολογιστικών» και «θεωρητικών», στις ενότητες 2 και 3.
Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως (και να προσέξεις περισσότερο) δύο θέματα:
1. Πώς θα βρεις την τιμή μιας συνάρτησης με την βοήθεια της συνέχειας σε σημείο.
2. Πώς θα βρεις τον τύπο μιας συνάρτησης, όταν δίνεται μια ιδιότητα που ικανοποιεί η συνάρτηση και από την οποία μπορείς να λύσεις ως προς f(x).
Τα θέματα της ενότητας 4 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην ενότητα 4 στο δωρεάν βιβλίο μου.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5
Θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης
Από τις σημαντικότερες ενότητες του κεφαλαίου, διότι τα θέματά της συνδυάζονται με θέματα του Διαφορικού Λογισμού, αλλά κάλλιστα «στέκονται» και μόνα τους ως θέματα στις εξετάσεις.
Πέραν των βασικών εννοιών - ορισμών - θεωρημάτων της θεωρίας, στις ασκήσεις πρέπει να ξεκαθαρίσεις πλήρως τα εξής:
1. Πότε μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο
2. Πώς θα βρεις το πρόσημο μιας συνάρτησης με την βοήθεια της εξίσωσης f(x)=0
Γενικώς το θέμα του προσήμου μιας συνάρτησης (αλγεβρικής παράστασης) είναι πολύ σημαντικό και εμφανίζεται σε πολλές ασκήσεις και του Διαφορικού Λογισμού.
3. Πώς θα βρεις τον τύπο μιας συνάρτησης, όταν δίνεται μια ιδιότητα που έχει η συνάρτηση και σε αυτήν υπάρχει το τετράγωνο της συνάρτησης
Πολύ λεπτό και δυνατό θέμα, γι’ αυτό μελέτησέ το προσεκτικά κατά την επανάληψή σου!
4. Θεώρημα του Bolzano (και Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών)
Πρόσεξε περισσότερο τα θέματα τα οποία αντιμετωπίζονται με το θεώρημα Bolzano:
α) Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
Είτε δίνεται το ανοικτό διάστημα στο οποίο ζητείται η ρίζα (το σύνηθες) είτε δεν δίνεται (το οποίο χρειάζεται περισσότερη προσοχή).
Πρόσεξε πολύ γεωμετρικές εκφράσεις και πώς αυτές «μεταφράζονται» στην έκφραση «Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα».
β) Πώς θα αποδείξεις ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση.
Πρόκειται για περίπτωση ισοδύναμη της (α). Μπορεί να δίνεται το ανοικτό διάστημα στο οποίο ζητείται η ύπαρξη του αριθμού, μπορεί και όχι.
γ) Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ή ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός ενός διαστήματος ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση, όταν το ζητούμενο διάστημα είναι κλειστό (σε ένα τουλάχιστον από τα άκρα του).
δ) Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον ρίζες.
Και εδώ, μπορεί να δίνεται το διάστημα στο οποίο ζητούνται οι ρίζες, μπορεί και όχι.
ε) Πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα.
Το θέμα αυτό αντιμετωπίζεται καλύτερα με την επιπλέον θεωρία του Διαφορικού Λογισμού βέβαια, αλλά καλό είναι στην επανάληψή σου να θυμηθείς και πώς γίνεται η δουλειά με χρήση της θεωρίας των ορίων μόνο.
Τα θέματα της ενότητας 5 μπορείς να τα μελετήσεις πιο αναλυτικά στην ενότητα 5 στο δωρεάν βιβλίο μου.
Συνοψίζουμε - ανακεφαλαιώνουμε
«Να κάνετε επανάληψη», λέει ο καθηγητής.
«Εύκολα το λες. Πώς να κάνω επανάληψη; Τι να πρωτοδιαβάσω;», σκέφτεσαι εσύ.
Στο άρθρο σού έδωσα την κατεύθυνση την οποία πρέπει να ακολουθήσεις ώστε να κάνεις σωστή και αποδοτική επανάληψη.
1. Χώρισε το κεφάλαιο σε επιμέρους ενότητες. Δώσε τους τίτλους που σου πρότεινα.
2. Η σωστή σειρά μελέτης των θεμάτων κάθε ενότητας είναι η εξής:
α) Μελέτα προσεκτικά την θεωρία και συγκράτησε λεπτομέρειες που έχει, τις οποίες είδες μέσω των ασκήσεων.
β) Μάθε ποιες είναι οι κατηγορίες των ασκήσεων, ποια θέματα δηλαδή είδες στις ασκήσεις της σχετικής ενότητας, και πώς αντιμετωπίζονται, ποια είναι η μεθοδολογία δηλαδή.
γ) Μελέτα επιλεγμένες λυμένες ασκήσεις.
Μην τις ξαναλύνεις! Θα χάνεις πολύτιμο χρόνο και ενέργεια.
Εύχομαι να σε βοήθησα με τις κατευθύνσεις που έδωσα και κάθε σου εξέταση να είναι επιτυχής. Αν δεν προκύψει το αποτέλεσμα που αναμένεις όμως, μην το βάζεις κάτω. Αναπροσάρμοσε κάτι στον τρόπο που διαβάζεις, ίσως στον διαχωρισμό του κεφαλαίου αν κάπως αλλιώς σε βολεύει καλύτερα.
Θέλεις κάτι να ρωτήσεις; Ίσως να πεις την άποψή σου στο θέμα;
Θα χαρώ να δω την συμμετοχή σου στα σχόλια.