Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ – Όριο και συνέχεια συνάρτησης

Το κεφάλαιο αυτό είναι το πρώτο από τα τρία κεφάλαια της διδακτέας-εξεταστέας ύλης της Γ΄ Λυκείου για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και η εισαγωγή σε έναν μεγάλο κλάδο των Μαθηματικών, την Ανάλυση.

Το «Μαθηματικό στέκι» σού παρέχει δωρεάν ένα ολόκληρο, αναλυτικότατο βιβλίο αφιερωμένο στην ανάπτυξη των πολλών και σημαντικών θεμάτων του κεφαλαίου, όχι απλώς σημειώσεις.

Μαζί με τα βίντεο θεωρίας και ασκήσεων που θα βρεις στην σχετική λίστα αναπαραγωγής από το κανάλι μου στο You Tube, θα βάλεις τις σωστές και γερές βάσεις για τα επόμενα δύο, άκρως σημαντικά, κεφάλαια της ύλης.

Γρήγορη περιήγηση στην σελίδα

Αν δεν γνωρίζεις τι περιλαμβάνει το βιβλίο και θέλεις να μάθεις, πάτησε στον σύνδεσμο «Τι περιλαμβάνει το βιβλίο».

Ο σύνδεσμος «Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο» παρέχει σύντομες και περιεκτικές συμβουλές για την σωστή μελέτη του, αλλά και γενικώς για τον σωστό τρόπο με τον οποίο πρέπει να διαβάζεις. Διάβασέ τες!

Απαραίτητος βοηθός, καθ' όλη την διάρκεια της προετοιμασίας σου για τις εξετάσεις, είναι το βιβλίο «Πώς;», στο οποίο είναι συγκεντρωμένα όλα τα βασικά στοιχεία Άλγεβρας και Γεωμετρίας, από την Α΄ Γυμνασίου έως και την Β΄ Λυκείου.

Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις επομένως, το βιβλίο αυτό θα στο υπενθυμίζει γρήγορα.

Πάτησε στην εικόνα του, όταν χρειαστείς την βοήθειά του.

Τι περιλαμβάνει το βιβλίο

Τόσο στην ψηφιακή όσο και στην έντυπη μορφή του, το βιβλίο είναι χωρισμένο σε 10 ενότητες, κάποιες εκ των οποίων υποδιαιρούνται σε παραγράφους.

Η ψηφιακή μορφή του όμως, είναι χωρισμένη σε 35 επιμέρους τεύχη. Αυτό θα σε βοηθήσει να επιλέγεις γρηγορότερα το θέμα στο οποίο χρειάζεσαι βοήθεια, άρα γρηγορότερα θα λύνεις τις απορίες σου.

Κάθε τεύχος περιλαμβάνει αναλυτικότατη θεωρία, αναλυτικότατη μεθοδολογία και αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις.

Οι προτάσεις του σχολικού βιβλίου μεταφέρονται αυτούσιες (και τις οποίες θα βρίσκεις πάντα εντός πράσινου πλαισίου), εμπλουτίζονται με σχόλια, παρατηρήσεις και παραδείγματα. Τα σχήματα προέρχονται όλα από το σχολικό βιβλίο, ενώ τα συνοδευτικά παραδείγματα από το προσωπικό μου αρχείο, ασκήσεις που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο ή δικές μου κατασκευές.

Παραδείγματα

Υπάρχουν 181 παραδείγματα, συνοδευτικά θεμάτων της θεωρίας ή μετά την παρουσίαση της μεθοδολογίας κάποιας κατηγορίας ασκήσεων.

Προσπάθησα να τα τοποθετήσω στις θέσεις που έκρινα καλύτερες, ώστε να δένουν με όσα προηγούνται αυτών. Βέβαια αυτά από μόνα τους δεν αρκούν, γι’ αυτό υπάρχουν οι αναλυτικά λυμένες ασκήσεις κάθε κατηγορίας ασκήσεων.

Αναλυτικότατη μεθοδολογία

Η θεματολογία των ασκήσεων του κεφαλαίου ταξινομήθηκε σε 33 κατηγορίες.

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αναλύεται διεξοδικά και παρουσιάζεται βήμα προς βήμα ο τρόπος αντιμετώπισης του θέματός της.

Αυτό θα βοηθήσει πολύ στην οργάνωση της σκέψης και θα αποβάλει το άγχος των ασκήσεων, αλλά να προσέξεις το εξής:

η μεθοδολογία είναι ένας δρόμος προς την λύση, δίνει μία βασική κατεύθυνση, αλλά δεν πρέπει να δεσμεύει απόλυτα την σκέψη!

Ο καθηγητής σου θα σου δείξει παραλλαγές, οι οποίες είτε τροποποιούν είτε αναιρούν μια μεθοδολογία (και πολύ καλά θα κάνει)!

Ασκήσεις, λυμένες βήμα προς βήμα

Και οι 600 ασκήσεις του βιβλίου προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο και είναι διαθέσιμες σε όλους (την προέλευση κάθε άσκησης θα την βρεις στην βιβλιογραφία).

Είναι λυμένες αναλυτικότατα, χωρίς να παραλείπεται κανένα βήμα, ενώ σε πολλές εξ αυτών γίνονται χρήσιμα σχόλια και υπενθυμίσεις από την θεωρία ή προηγούμενες τάξεις.

Να τις μελετάς προσεκτικά πριν ασχοληθείς με ασκήσεις που σου αναθέτει ο καθηγητής σου ή να προστρέχεις σε αυτές, αν κάποιο θέμα σε δυσκολεύει.

Δεν θα τις αξιοποιήσεις σωστά, αν πιάσεις να τις ξαναλύσεις! Θα σου δοθούν πολλές περισσότερες από τον καθηγητή σου, που θα καλύψουν (και με το παραπάνω!) τις ανάγκες σου σε ασκήσεις. Η μελέτη των λυμένων ασκήσεων είναι βασικό στάδιο της προετοιμασίας σου και δεν πρέπει να το παραλείπεις!

Τα αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου θα τα δεις, αν πατήσεις στην μικρή εικόνα.

Το βιβλίο μπορείς να το αποκτήσεις, προαιρετικά, και σε έγχρωμη έντυπη μορφή. Πάτησε εδώ για περισσότερες πληροφορίες.

Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο!

Να ποιος είναι ο σωστός τρόπος (αλλά και γενικώς ο σωστός τρόπος για να διαβάζεις) :

1.  Διάβαζε προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, θεωρήματα, παρατηρήσεις, παραδείγματα)

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία για τις ασκήσεις

3.  Μελέτα προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις

Μόνο αφού κάνεις τα παραπάνω -και χωρίς να παραλείψεις κανένα βήμα ή να αλλάξεις την σειρά- θα πιάσεις να λύσεις ασκήσεις.

Αν παραλείψεις κάτι από τα παραπάνω, τα αποτελέσματα δεν θα είναι αυτά που πρέπει και θέλεις.

Οργάνωσε σωστά την μελέτη του βιβλίου

Για να σε βοηθήσω ακόμη περισσότερο στην μελέτη (και στις επαναλήψεις που τακτικά θα πρέπει να κάνεις), χώρισα τις ενότητες του βιβλίου, σε μικρότερες ομάδες. Ο όγκος των πληροφοριών είναι μεγάλος και μπορεί εύκολα να μπερδευτείς και να χαθείς (δεν θέλουμε τίποτα από τα δύο).

Ακολούθησε την σειρά των παρακάτω ομάδων και θα έχεις πολύ καλύτερη εικόνα του τι υπάρχει στο κεφάλαιο και πολύ καλύτερη κατανόηση. Επομένως, θα μπορείς γρηγορότερα να αναγνωρίζεις τι εμφανίζεται σε μία άσκηση, ποια στοιχεία από την θεωρία και την μεθοδολογία χρειάζεσαι και θα μπορείς να την αντιμετωπίσεις καλύτερα.

1η ομάδα  |  1η ενότητα

Είναι η βάση του κεφαλαίου και περιλαμβάνει θέματα που είναι σημαντικά και στα τρία κεφάλαια της ύλης.

2η ομάδα  |  2η + 3η + 4η ενότητα

Περιλαμβάνουν το «καθαρά υπολογιστικό» σκέλος των θεμάτων του κεφαλαίου.

Στις τρεις αυτές ενότητες θα μάθεις τεχνικές υπολογισμού ορίων, χωρίς να μπεις σε «βαθιά νερά» στην θεωρία των ορίων. Οι τεχνικές αυτές θα σε βοηθήσουν στο «θεωρητικό» σκέλος των θεμάτων του κεφαλαίου (ενότητες 5, 6 και 7).

3η ομάδα  |  5η + 6η + 7η ενότητα

Περιλαμβάνουν το «θεωρητικό» σκέλος των θεμάτων του κεφαλαίου. Και εδώ θα δεις πώς υπολογίζεις όρια βεβαίως, μόνο που τώρα δεν θα είναι γνωστή η συνάρτηση εντός του ορίου. Στις τρεις αυτές ενότητες αυτές θα μπεις στα «βαθιά νερά» της θεωρίας των ορίων.

4η ομάδα  |  8η ενότητα

Εδώ εισάγεται ένας νέος ορισμός και μία νέα έννοια: η συνέχεια συνάρτησης, σε σημείο και διάστημα. Οι ασκήσεις της ενότητας αυτής δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερη δυσκολία, αφού στηρίζονται σε υπολογισμούς ορίων και θα κάνεις  όσα έμαθες στα «υπολογιστικά» και στα «θεωρητικά» θέματα των ορίων (ενότητες 2, 3, 5 και 6) .

5η ομάδα  |  9η ενότητα

Περιλαμβάνει σημαντικά θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης, τα οποία θα χρησιμοποιήσεις αρκετές φορές και στα επόμενα κεφάλαια. Η ενότητα αυτή απαιτεί πολλή προσοχή!

6η ομάδα  |  10η ενότητα

Περιλαμβάνει 30 ασκήσεις σε όλη την θεματολογία του κεφαλαίου, οι οποίες θα σου δώσουν μια καλή γεύση από τα αποκαλούμενα «συνδυαστικά θέματα». Να τις προσέξεις όλες πάρα πολύ, διότι το πνεύμα τους είναι αυτό των θεμάτων που εμφανίζονται στα διαγωνίσματα, κάλλιστα μπορεί να τα δεις και στις Πανελλήνιες Εξετάσεις όμως.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Διάβασε όλο το βιβλίο δωρεάν!

Για να διαβάσεις αυτό που χρειάζεσαι, πάτησε στο σχετικό πλαίσιο.

Αν θέλεις να δεις τα πλήρη και αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου, πάτησε εδώ.

Είναι χωρισμένο βάσει των ομάδων που περιέγραψα λίγο παραπάνω.

Αν θέλεις να διαβάσεις περισσότερες λεπτομέρειες για το βιβλίο, πάτησε εδώ.

Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις, πατώντας εδώ θα βρεις γρήγορα την απάντηση που θέλεις.

1η ενότητα  -  Βασικά στοιχεία συναρτήσεων

Περιγραφή

Η 1η ενότητα συγκεντρώνει σε οκτώ παραγράφους όλα όσα είδες περί συναρτήσεων από το Γυμνάσιο μέχρι και την Β΄ Λυκείου και εμπλουτίζεται με νέες έννοιες που εισάγονται στην Γ΄ Λυκείου. Αφορά στις παραγράφους 1.1­-1.3 του σχολικού βιβλίου και πρόκειται για μία από τις πλέον βασικές ενότητες όλου του κεφαλαίου, αφού τα θέματα που πραγματεύεται συναντώνται διαρκώς σε όλη την ύλη της Γ΄ Λυκείου.

Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αντιστοιχεί σε κάθε παράγραφο της ενότητας.

 Πεδίο ορισμού συνάρτησης. Τιμές συνάρτησης

  Γραφική παράσταση συνάρτησης

  Άρτια-περιττή συνάρτηση

  Ισότητα συναρτήσεων

  Άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο συναρτήσεων

  Σύνθεση συναρτήσεων

  Μονοτονία συνάρτησης (επιλεγμένα θέματα)

  Συνάρτηση 1-1. Αντίστροφη συνάρτηση (επιλεγμένα θέματα)

2η ενότητα  -  «Υπολογιστικά» θέματα ορίων. Η απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν»

Περιγραφή

Η 2η ενότητα περιλαμβάνει πέντε παραγράφους, ξεκινά με την εισαγωγή της έννοιας του ορίου μιας συνάρτησης σε έναν αριθμό και αναλύει το «υπολογιστικό» σκέλος των θεμάτων των ορίων, πώς υπολογίζουμε το όριο μιας συνάρτησης όταν είναι γνωστός ο τύπος της. Αναλύει τι είναι απροσδιοριστία σε ένα όριο και παρουσιάζει αναλυτικά πώς αντιμετωπίζεται η πρώτη απροσδιοριστία που συναντάται στις ασκήσεις (μηδέν διά μηδέν). Θίγει θέματα που υπάρχουν στις παραγράφους 1.4-­1.5 του σχολικού βιβλίου, αλλά όχι στο σύνολό τους (να το προσέξεις αυτό). Παρουσιάζονται οι τεχνικές υπολογισμού, αλλά όχι τα «θεωρητικά» θέματα των παραγράφων αυτών (τα οποία θα δεις στην 5η ενότητα).

Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αντιστοιχεί σε κάθε παράγραφο της ενότητας.

  Απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» με ρητές συναρτήσεις

10η  Απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» με ρίζες

11η  Απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» με τριγωνομετρικές συναρτήσεις (τριγωνομετρικά όρια)

12η  Υπολογισμός ορίου συνάρτησης διπλού τύπου (γενικά, πολλαπλού τύπου)

13η  Απροσδιοριστία «μηδέν διά μηδέν» με απόλυτες τιμές

3η ενότητα  -  «Υπολογιστικά» θέματα ορίων. Η απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν»

Περιγραφή

Η 3η ενότητα πραγματεύεται μία ακόμη περίπτωση που συναντάται κατά τους υπολογισμούς ορίων. Είναι ιδιόμορφη και πρέπει να την προσέξεις πολύ. Εδώ θα βρεις τα «υπολογιστικά» θέματα της παραγράφου 1.6 του σχολικού βιβλίου, αλλά όχι όλα τα θέματα της παραγράφου 1.6 (να το προσέξεις αυτό). Τα «θεωρητικά» θέματα αναλύονται στην 6η ενότητα.

Κατηγορίες ασκήσεων

14η  Απροσδιοριστία «αριθμός διά μηδέν»

4η ενότητα  -  «Υπολογιστικά» θέματα ορίων. Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Περιγραφή

Η 4η ενότητα εισάγει την έννοια του ορίου μιας συνάρτησης στο άπειρο, περιλαμβάνει πέντε παραγράφους και αναλύει τον τρόπο υπολογισμού ορίου στο άπειρο. Αφορά στην παράγραφο 1.7 του σχολικού βιβλίου, αλλά μόνο ως προς το «υπολογιστικό» σκέλος (να το προσέξεις αυτό). Το «θεωρητικό» σκέλος των θεμάτων αναπτύσσεται στην 7η ενότητα.

Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αντιστοιχεί σε κάθε παράγραφο της ενότητας.

15η  Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης στο άπειρο

16η  Όρια στο άπειρο με απόλυτες τιμές

17η  Απροσδιοριστία «άπειρο διά άπειρο» με ρίζες

18η  Απροσδιοριστία «συν άπειρο πλην άπειρο» με ρίζες

19η  Εκθετικά-λογαριθμικά όρια στο άπειρο

5η ενότητα  -  «Θεωρητικά» θέματα ορίων. Όριο συνάρτησης σε σημείο

Περιγραφή

Η 5η ενότητα συγκεντρώνει σε τέσσερις παραγράφους τα θέματα που αναπτύσσονται στις παραγράφους 1.4­-1.5 του σχολικού βιβλίου, ως προς το «θεωρητικό» τους σκέλος (το «υπολογιστικό» αναπτύχθηκε στην 2η ενότητα). Η 5η ενότητα είναι βασική, αφού οι περισσότερες από τις τεχνικές που αναπτύσσονται σε αυτήν εφαρμόζονται και στις ενότητες 6 και 7 που έπονται.

Κατηγορίες ασκήσεων

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αντιστοιχεί σε κάθε παράγραφο της ενότητας.

20η  Γενικά (αλλά χαρακτηριστικά) θέματα στα «θεωρητικά» όρια

21η   Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε ένα όριο να υπάρχει ή να έχει συγκεκριμένη τιμή

22η  Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης, η οποία βρίσκεται μέσα σε άλλο όριο με γνωστή τιμή

23η  Να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης, η οποία βρίσκεται μέσα σε διπλή ανισότητα ή να δίνεται μονή ανισότητα. Ιδιαίτερα τριγωνομετρικά όρια.

6η ενότητα  -  «Θεωρητικά» θέματα ορίων. Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης

Περιγραφή

Η 6η ενότητα θίγει τα θέματα που υπάρχουν στην παράγραφο 1.6 του σχολικού βιβλίου, πάλι ως προς το «θεωρητικό» τους σκέλος (το «υπολογιστικό» αναπτύχθηκε στην 3η ενότητα).

Κατηγορίες ασκήσεων

24η  «Θεωρητικά» θέματα στο μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης

7η ενότητα  -  «Θεωρητικά» θέματα ορίων. Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Περιγραφή

Η 7η ενότητα πραγματεύεται τα «θεωρητικά» θέματα της παραγράφου 1.7 του σχολικού βιβλίου (τα «υπολογιστικά» αναπτύχθηκαν στην 4η ενότητα).

Κατηγορίες ασκήσεων

25η  «Θεωρητικά» θέματα στο όριο συνάρτησης στο άπειρο

8η ενότητα  -  Συνέχεια συνάρτησης

Περιγραφή

Η 8η ενότητα εισάγει την πολύ σημαντική έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης σε σημείο, η οποία επεκτείνεται και σε διάστημα. Αντιμετωπίζονται υπολογιστικά και θεωρητικά θέματα που αφορούν στην έννοια αυτή, τα οποία υπάρχουν στην παράγραφο 1.8 του σχολικού βιβλίου. Πρόκειται για μία βασικότατη ενότητα, αφού η συνέχεια μιας συνάρτησης οδηγεί σε σημαντικότατα θεωρήματα της Ανάλυσης, μερικά εκ των οποίων αντιμετωπίζονται στην 9η ενότητα, αλλά και στα επόμενα δύο κεφάλαια (Διαφορικός Λογισμός και Ολοκληρωτικός Λογισμός).

Κατηγορίες ασκήσεων

Οι κατηγορίες ασκήσεων αφορούν και τις δύο παραγράφους της ενότητας.

26η  Να εξετάσετε ή να δείξετε ή γνωρίζετε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα)

27η   Να βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου, ώστε μία συνάρτηση να είναι συνεχής (σε σημείο ή σε διάστημα)

28η  Συνέχεια συνάρτησης (σε σημείο ή σε διάστημα), η οποία βρίσκεται μέσα σε όριο με γνωστή τιμή

29η  Συνέχεια συνάρτησης (σε σημείο ή σε διάστημα), η οποία βρίσκεται σε διπλή ανισότητα ή δίνεται μονή ανισότητα 

9η ενότητα  -  Θεωρήματα στην συνέχεια συνάρτησης

Περιγραφή

Η 9η ενότητα αποτελείται από δύο παραγράφους, στις οποίες αναλύονται τα πρώτα σημαντικά θεωρήματα της Ανάλυσης. Αφορά σε θεωρήματα που υπάρχουν στην παράγραφο 1.8 του σχολικού βιβλίου και δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στο θεώρημα του Bolzano, του οποίου η φιλοσοφία διαφοροποιείται σημαντικά από το πνεύμα ασκήσεων που υπήρξε μέχρις αυτού του σημείου του κεφαλαίου. Το προαναφερθέν θεώρημα είναι πολύ σημαντικό και ξεχωριστό, γι’ αυτό και πρέπει να του δοθεί ιδιαίτερη προσοχή.

Κατηγορίες ασκήσεων

H 30η κατηγορία ασκήσεων αντιστοιχεί στην 1η παράγραφο της ενότητας, ενώ οι υπόλοιπες στην 2η παράγραφο.

30η  Θεωρήματα της συνέχειας

31η   Να δείξετε ότι μία εξίσωση έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα (σε ένα ανοικτό διάστημα)

32η  Να δείξετε ότι υπάρχει, τουλάχιστον ένας, αριθμός ενός ανοικτού διαστήματος, ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση

33η  Κάποια από τις κατηγορίες 31 ή 32, αλλά το ζητούμενο διάστημα να είναι κλειστό (σε ένα, τουλάχιστον, από τα άκρα του)

10η ενότητα  -  Γενικές ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο

Περιγραφή

Η 10η ενότητα περιλαμβάνει 30 εξαιρετικές ασκήσεις, οι οποίες δίνουν μια αρκετά καλή γεύση από αυτά που αποκαλούμε «συνδυαστικά θέματα». Να τις προσέξεις όλες πάρα πολύ, διότι το πνεύμα τους είναι αυτό των θεμάτων που εμφανίζονται στα διαγωνίσματα, κάλλιστα μπορεί να τα δεις και στις Πανελλήνιες Εξετάσεις όμως.

Θέλεις να αποκτήσεις την έγχρωμη έντυπη μορφή του βιβλίου;

Σε βοηθάει το βιβλίο;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Βιβλιογραφία - Πηγές ασκήσεων

Όπως ανέφερα στην αρχή, οι 600 λυμένες ασκήσεις του βιβλίου προέρχονται όλες από το διαδίκτυο.

Από τα πολλά και πολύ πλούσια φυλλάδια-συλλογές ασκήσεων που τόσοι πολλοί συνάδελφοι δημοσιεύουν συνεχώς εδώ και χρόνια, οι εργασίες των ακόλουθων κόσμησαν το βιβλίο με τις ασκήσεις που έλυσα για σένα.

Για κάθε φυλλάδιο-συλλογή ασκήσεων θα βρεις και τον σύνδεσμο από τον οποίο μπορείς να αποθηκεύσεις το σχετικό αρχείο (και σου συστήνω να το κάνεις).

Δες τις πηγές των ασκήσεων του βιβλίου

1.  Mίλτος Παπαγρηγοράκης, 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων, 2012-2013

Το φυλλάδιο το βρήκα στις ακόλουθες διευθύνσεις:

https://www.box.com/shared/n52v66sjhx5f69vgj93e

http://lisari.blogspot.gr/p/blog-page_20.html

Αν δεν το βρεις στις παραπάνω διευθύνσεις (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtdlNEUDNTTHVDRms

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

1-5 , 25-27 , 48-49 , 51 , 80-84 , 305-307 , 325-326 , 334-339 , 364-368 , 379-382 , 418-419 , 448 , 463 , 480 , 499 , 531 , 558-559.

2.  Π. Δ. Τρίμης, 5ο Λύκειο Πετρούπολης

Το φυλλάδιο το βρήκα στις ακόλουθες διευθύνσεις:

http://5lyk-petroup.att.sch.gr/trimp/exan+1_1(f(x))_CL.pdf

http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/5_17.html

Αν δεν το βρεις στις παραπάνω διευθύνσεις (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtRGh1TWRuOHU3aFU

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

6-15 , 21 , 52 , 59-61 , 117.

3.  Δημήτρης Ανδρεσάκης

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση  http://eisatopon.blogspot.gr/2015/10/m.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtMlNUaExsSFRuenc

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

16-18 , 31-34 , 37-38 , 43-44 , 53-54 , 62-69 , 85 , 87-90 , 106-116 , 131-146 , 198 , 232-236 , 275-288 , 310-312 , 340-346 , 369-371 ,

 383-390 , 420-422 , 432-436 , 443-445 , 454-457 , 509-516 , 532-535.

4.  Γιώργος Αποστόλου, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, Ιωάννινα, Ιούνιος 2016

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση  http://apgm.gr/math_kat_clyk.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtTmdEZjU5eEdfNTg

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

19 , 35 , 39 , 55-56 , 100-105 , 129-130 , 164-166 , 197 , 308 , 347 , 539-543.

5.  Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια, 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων, 2016-2017

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://users.sch.gr/mipapagr/index.php/2014-01-03-20-24-45/427-2016-2017

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtZWZ2VjAySkJmaXc

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

20 , 28-30 , 40-41 , 309 , 536 , 581-585 , 596-598.

6.  Δημήτρης Δούδης, 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης, 2012-2013

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2012/12/blog-post_31.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtMTg5MGZGUW5PM3c

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

22-24 , 42 , 47 , 50 , 76-79 , 302-304 , 317-324 , 331-333 , 356-363 , 377-378 , 405-417 , 427-431 , 442 , 446-447 , 458-462 ,

469-479 , 488-498 , 525-530.

7.  Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2016/10/blog-post_24.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtWDBhdFNoRUxjUGs

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

36 , 45-46 , 57-58 , 70-75 , 86 , 91-99 , 118-128 , 167-193 , 194-196 , 242-251 , 252-257 , 258-264 , 265-274 , 289-300 , 313-314 ,

327 , 348-352 , 372-376 , 391-399 , 437-439 , 450-453 , 464-467 , 481-486 , 517-523 , 547-550 , 560-566 , 586-595.

8.  Παύλος Τρύφων, Συνοπτικό αρχείο ασκήσεων στα όρια

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://blogs.sch.gr/pavtryfon/2013/01/17/συνοπτικό-αρχείο-ασκήσεων-στα-όρια-γ΄/

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtSklxcnFqS3ZXcmM

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

147-153 , 154-163 , 199-206 , 207-231 , 237-241.

9.  Σπύρος Χριστιάς, Μεθοδολογία και θέματα Μαθηματικών Θετικής ­ Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, 2009

Το φυλλάδιο το βρήκα στην ακόλουθη διεύθυνση:

http://2lyk-peir-athin.att.sch.gr/portal/math/files/Christias_C_Lyk_Kat.pdf

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtZDkzWGVZR2RmWk0

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

301 , 315-316 , 328-330 , 353-355 , 400-404 , 423-426 , 440-441 , 468 , 487 , 524 , 551-557.

10.  Άλκης Τζελέπης, Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση, Ανάλυση, Πειραματικό Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης, Αθήνα, 2011

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lykevag.att.sch.gr/autosch/joomla15/index.php/ekpaideftiko-yliko/mathimatikam

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtMXpSOXZCMXVNZ1k

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

544-546.

11.  14ο Λύκειο Περιστερίου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, 2016-17

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://www.askisopolis.gr/index.php?p=view.php&id=4280

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtTnJtdWpmYUlnRTQ

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

463 , 500-508 , 537-538 , 567-570 , 571-580.

12.  Κώστας Νικολετόπουλος, 9ο ΓΕΛ Περιστερίου

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://www.askisopolis.gr/index.php?p=view.php&id=3857

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtTnN6TGVCV0tWZWc

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

599-600.

Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου

Η στροφή των θεμάτων των Πανελληνίων Εξετάσεων οδήγησε σε αναβάθμιση του ρόλου του σχολικού βιβλίου (το σχολικό βιβλίο μπορείς να το αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου από εδώ).

Αν και αυτό είναι πάντα η βάση, η αρχή της μελέτης και προετοιμασίας σου για τις εξετάσεις, χρειάζεται πολλή και σωστή υποστήριξη.

Γι' αυτό έγραψα για σένα το παραπάνω βιβλίο, γι' αυτό γράφουν και τόσοι καθηγητές βιβλία και σημειώσεις.

Μην αρκείσαι σε σύντομες λύσεις!  Δες όλες τις ασκήσεις αναλυτικά λυμένες

Κάθε άσκηση να την βλέπεις ως ένα μάθημα, διότι είναι μάθημα.

Και πάντα, μα πάντα να προσέχεις πολύ τον καθηγητή σου στο σχολείο κατά την διδασκαλία!

Επειδή ο χρόνος της διδασκαλίας όμως είναι περιορισμένος, ο καθηγητής σου στο σχολείο δεν έχει πάντα την δυνατότητα να λύνει όλες τις ασκήσεις αναλυτικά -αν και θα το ήθελε, μην αμφιβάλλεις καθόλου γι' αυτό.

Και βεβαίως, ούτε στο «λυσάρι» που έχεις μαζί με το σχολικό σου βιβλίο οι λύσεις είναι αναλυτικές.

Όμως, η αναλυτική παρουσίαση της λύσης μιας άσκησης είναι απαραίτητη, για δύο βασικούς λόγους:

Πρώτος λόγος είναι η κατανόηση καθαυτής της λύσης.

Μια σύντομη λύση σίγουρα θα δημιουργήσει κενά στην κατανόηση, ακόμη και επικίνδυνες παρανοήσεις.

Δεύτερος λόγος είναι ότι και εσύ πρέπει να μάθεις να παρουσιάζεις αναλυτικά την λύση μιας άσκησης.

Η διατύπωση παίζει σημαντικό ρόλο στην βαθμολόγηση, αφού είναι ο τρόπος με τον οποίο επικοινωνείς με τον βαθμολογητή σου στις εξετάσεις.

Μελέτα προσεκτικά κάθε άσκηση!

Αυτό ισχύει για κάθε άσκηση, διότι κάθε άσκηση έχει κάτι να προσφέρει.

Για να δεις τις ασκήσεις της παραγράφου που θέλεις, πάτησε στην εικόνα του σχετικού τεύχους.

Σε βοηθούν οι λύσεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Χρειάζεσαι βοήθεια σε κάποιο άλλο μάθημα;

>