Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ – Ολοκληρωτικός Λογισμός

Το κεφάλαιο αυτό είναι το τελευταίο από τα τρία κεφάλαια της διδακτέας-εξεταστέας ύλης της Γ΄ Λυκείου για τις Πανελλήνιες Εξετάσεις.

Το «Μαθηματικό στέκι» σού παρέχει δωρεάν ένα ολόκληρο, αναλυτικότατο βιβλίο αφιερωμένο στην ανάπτυξη των πολλών και σημαντικών θεμάτων του κεφαλαίου, όχι απλώς σημειώσεις.

Μαζί με τα βίντεο θεωρίας που θα βρεις στην σχετική λίστα αναπαραγωγής από το κανάλι μου στο You Tube, θα εμπεδώσεις περισότερο θέματα του κεφαλαίου.

Γρήγορη περιήγηση στην σελίδα

Αν δεν γνωρίζεις τι περιλαμβάνει το βιβλίο και θέλεις να μάθεις, πάτησε στον σύνδεσμο «Τι περιλαμβάνει το βιβλίο».

Ο σύνδεσμος «Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο» παρέχει σύντομες και περιεκτικές συμβουλές για την σωστή μελέτη του, αλλά και γενικώς για τον σωστό τρόπο με τον οποίο πρέπει να διαβάζεις. Διάβασέ τες!

Απαραίτητος βοηθός, καθ' όλη την διάρκεια της προετοιμασίας σου για τις εξετάσεις, είναι το βιβλίο «Πώς;», στο οποίο είναι συγκεντρωμένα όλα τα βασικά στοιχεία Άλγεβρας και Γεωμετρίας, από την Α΄ Γυμνασίου έως και την Β΄ Λυκείου.

Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις επομένως, το βιβλίο αυτό θα στο υπενθυμίζει γρήγορα.

Πάτησε στην εικόνα του, όταν χρειαστείς την βοήθειά του.

Τι περιλαμβάνει το βιβλίο

Τόσο στην ψηφιακή όσο και στην έντυπη μορφή του, το βιβλίο είναι χωρισμένο σε 5 ενότητες, κάποιες εκ των οποίων υποδιαιρούνται σε παραγράφους.

Η ψηφιακή μορφή του όμως, είναι χωρισμένη σε 13 επιμέρους τεύχη. Αυτό θα σε βοηθήσει να επιλέγεις γρηγορότερα το θέμα στο οποίο χρειάζεσαι βοήθεια, άρα γρηγορότερα θα λύνεις τις απορίες σου.

Κάθε τεύχος περιλαμβάνει αναλυτικότατη θεωρία, αναλυτικότατη μεθοδολογία και αναλυτικότατα λυμένες ασκήσεις.

Οι προτάσεις του σχολικού βιβλίου μεταφέρονται αυτούσιες (και τις οποίες θα βρίσκεις πάντα εντός πράσινου πλαισίου), εμπλουτίζονται με σχόλια, παρατηρήσεις και παραδείγματα. Πολλά από τα σχήματα προέρχονται όλα από το σχολικό βιβλίο και επίσης πολλά κατασκεύασε ο συνάδελφος Θανάσης Νικολόπουλος, ενώ τα συνοδευτικά παραδείγματα από το προσωπικό μου αρχείο, ασκήσεις που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο ή δικές μου κατασκευές.

Παραδείγματα

Υπάρχουν 50 παραδείγματα, συνοδευτικά θεμάτων της θεωρίας ή μετά την παρουσίαση της μεθοδολογίας κάποιας κατηγορίας ασκήσεων.

Προσπάθησα να τα τοποθετήσω στις θέσεις που έκρινα καλύτερες, ώστε να δένουν με όσα προηγούνται αυτών. Βέβαια αυτά από μόνα τους δεν αρκούν, γι’ αυτό υπάρχουν οι αναλυτικά λυμένες ασκήσεις κάθε κατηγορίας ασκήσεων.

Αναλυτικότατη μεθοδολογία

Η θεματολογία των ασκήσεων του κεφαλαίου ταξινομήθηκε σε 9 κατηγορίες.

Κάθε κατηγορία ασκήσεων αναλύεται διεξοδικά και παρουσιάζεται βήμα προς βήμα ο τρόπος αντιμετώπισης του θέματός της.

Αυτό θα βοηθήσει πολύ στην οργάνωση της σκέψης και θα αποβάλει το άγχος των ασκήσεων, αλλά να προσέξεις το εξής:

η μεθοδολογία είναι ένας δρόμος προς την λύση, δίνει μία βασική κατεύθυνση, αλλά δεν πρέπει να δεσμεύει απόλυτα την σκέψη!

Ο καθηγητής σου θα σου δείξει παραλλαγές, οι οποίες είτε τροποποιούν είτε αναιρούν μια μεθοδολογία (και πολύ καλά θα κάνει)!

Ασκήσεις, λυμένες βήμα προς βήμα

Και οι 340 ασκήσεις του βιβλίου προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία που δημοσιεύθηκαν στο διαδίκτυο και είναι διαθέσιμες σε όλους (την προέλευση κάθε άσκησης θα την βρεις στην βιβλιογραφία).

Είναι λυμένες αναλυτικότατα, χωρίς να παραλείπεται κανένα βήμα, ενώ σε πολλές εξ αυτών γίνονται χρήσιμα σχόλια και υπενθυμίσεις από την θεωρία ή προηγούμενες τάξεις.

Να μελετάς προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις, πριν ασχοληθείς με ασκήσεις που σου αναθέτει ο καθηγητής σου ή να προστρέχεις σε αυτές, αν κάποιο θέμα σε δυσκολεύει.

Δεν θα τις αξιοποιήσεις σωστά, αν πιάσεις να τις ξαναλύσεις! Θα σου δοθούν πολλές περισσότερες από τον καθηγητή σου, που θα καλύψουν (και με το παραπάνω!) τις ανάγκες σου σε ασκήσεις. Η μελέτη των λυμένων ασκήσεων είναι βασικό στάδιο της προετοιμασίας σου και δεν πρέπει να το παραλείπεις!

Τα αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου θα τα δεις, αν πατήσεις στην μικρή εικόνα.

Το βιβλίο δεν διατίθεται για αποθήκευση στον υπολογιστή σου (γι΄αυτό και η ψηφιακή του μορφή είναι μόνο για δωρεάν online μελέτη), αλλά μπορείς να το αποκτήσεις, προαιρετικά, σε έγχρωμη έντυπη μορφή.

Πάτησε εδώ για περισσότερες πληροφορίες.

Διάβασέ το με τον σωστό τρόπο!

Να ποιος είναι ο σωστός τρόπος (αλλά και γενικώς ο σωστός τρόπος για να διαβάζεις) :

1.  Διάβαζε προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, θεωρήματα, παρατηρήσεις, παραδείγματα)

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία για τις ασκήσεις

3.  Μελέτα προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις

Μόνο αφού κάνεις τα παραπάνω -και χωρίς να παραλείψεις κανένα βήμα ή να αλλάξεις την σειρά- θα πιάσεις να λύσεις ασκήσεις.

Αν παραλείψεις κάτι από τα παραπάνω, τα αποτελέσματα δεν θα είναι αυτά που πρέπει και θέλεις.

Οργάνωσε σωστά την μελέτη του βιβλίου

Για να σε βοηθήσω ακόμη περισσότερο στην μελέτη (και στις επαναλήψεις που τακτικά θα πρέπει να κάνεις), κάθε τεύχος περιλαμβάνει:

-   την βασική θεωρία του σχολικού βιβλίου, η οποία εμπλουτίζεται και σχολιάζεται εκτενώς, μαζί με συνοδευτικά παραδείγματα, όπου είναι απαραίτητο.

-  αναλυτική μεθοδολογία για τις ασκήσεις και βήμα προς βήμα λυμένες ασκήσεις.

Εξαίρεση αποτελεί η ενότητα 3, στην οποία τα τεύχη θεωρίας και μεθοδολογίας-λυμένων ασκήσεων είναι χωριστά, λόγω του μεγάλου τους όγκου.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Διάβασε όλο το βιβλίο δωρεάν!

  • Για να διαβάσεις αυτό που χρειάζεσαι, πάτησε στο σχετικό πλαίσιο παρακάτω.
  • Αν θέλεις να δεις τα πλήρη και αναλυτικότατα περιεχόμενα του βιβλίου, πάτησε εδώ.
  • Αν θέλεις να διαβάσεις περισσότερες λεπτομέρειες για το βιβλίο, πάτησε εδώ.
  • Για ό,τι δεν θυμάσαι από τις προηγούμενες τάξεις, πατώντας εδώ θα βρεις γρήγορα την απάντηση που θέλεις.

1η ενότητα  -  Αρχική συνάρτηση (αόριστο ολοκλήρωμα)

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα της παραγράφου 3.1 του σχολικού βιβλίου και εισάγει την έννοια της αρχικής συνάρτησης (ή παράγουσας συνάρτησης), έννοια η οποία ανήκει στον Διαφορικό Λογισμό όμως, αφού ο θανάσιμος ακρωτηριασμός της έννοιας του αόριστου ολοκληρώματος την καθιστά ασύνδετη (φαινομενικά) με το κεφάλαιο.

Όπως θα διαπιστώσεις στις λυμένες ασκήσεις της ενότητας, αυτές αντιμετωπίζονται με τεχνικές που είδες στον Διαφορικό Λογισμό (ειδικότερα, στις ασκήσεις του θεωρήματος Rolle ­ -7η ενότητα του βιβλίου μου για τον Διαφορικό Λογισμό­- και στις ασκήσεις των συνεπειών του Θ.Μ.Τ. -­9η ενότητα του προαναφερθέντος βιβλίου) και το ολοκλήρωμα δεν σχετίζεται (ξαναλέω, αυτό φαίνεται αλλά η πραγματικότητα είναι διαφορετική).

Η ενότητα αυτή είναι «η μύγα μέσα στο γάλα»! Αυτά έχουν οι ακρωτηριασμοί.

Κατηγορίες ασκήσεων

  Αρχική συνάρτηση.

2η ενότητα  -  Πώς θα υπολογίσεις ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα των παραγράφων 3.2 (η οποία είναι εκτός ύλης), 3.4 και 3.5 (κομμάτια της οποίας είναι εκτός ύλης) του σχολικού βιβλίου και αποτελεί το «υπολογιστικό» κομμάτι του κεφαλαίου.

Εδώ εξηγείται τι είναι αυτό που ονομάζουμε «ολοκλήρωμα». Με την αφαίρεση της έννοιας του αόριστου ολοκληρώματος όμως (η οποία είναι το «παιδί» της έννοιας της αρχικής συνάρτησης, «παιδί» το οποίο εκδιώχθηκε αδικαιολόγητα από το «σπίτι» του όμως) αναγκαστικά έπρεπε εδώ να βγω στην «παρανομία» προκειμένου να εξηγήσω (με απλά λόγια) τι είναι το ολοκλήρωμα, τόσο το αόριστο όσο και το ορισμένο (που είναι εντός ύλης, είναι το «νόμιμο» θέμα).

Αναπτύσσονται αναλυτικά οι τεχνικές υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος και ταξινομούνται σε ομάδες. Στο σχολικό βιβλίο, τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων αναπτύσσονται στην παράγραφο 3.2, η οποία είναι εκτός ύλης!

Κατηγορίες ασκήσεων

  «Απλά» ολοκληρώματα.

   Ολοκλήρωση κατά παράγοντες (παραγοντική ολοκλήρωση).

  Μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής (μέθοδος της αντικατάστασης).

  Ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης (χρήση του διαφορικού μιας συνάρτησης).

  Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης.

3η ενότητα  -  "Θεωρητικά" θέματα στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Περιγραφή

Πραγματεύεται θέματα των παραγράφων 3.4 και 3.5 του σχολικού βιβλίου. Εδώ μπαίνουμε σε πιο «βαθιά νερά» στα θέματα των ολοκληρωμάτων (ακριβώς όπως έγινε και στο κεφάλαιο των ορίων), αφού τα στοιχεία της θεωρίας για το ορισμένο ολοκλήρωμα απαιτούν περισσότερη λεπτότητα. Τεχνικές υπολογισμού ολοκληρωμάτων ασφαλώς και θα χρειαστούν, αλλά σε «θεωρητικό» επίπεδο (με την εμπειρία που απέκτησες από τα αντίστοιχα θέματα των ορίων, πιστεύω ότι καταλαβαίνεις τι εννοώ).

Διάβασε την αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων στο ακόλουθο τεύχος.

Κατηγορίες ασκήσεων

  "Θεωρητικά" θέματα στο ορισμένο ολοκλήρωμα.

4η ενότητα  -  Εμβαδόν επίπεδου χωρίου

Περιγραφή

Πραγματεύεται τα θέματα της παραγράφου 3.7 του σχολικού βιβλίου και εισάγει την έννοια του εμβαδού ενός χωρίου που δημιουργείται με την βοήθεια της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης (ή περισσοτέρων). Γίνεται αναλυτικότατη επεξήγηση των κυριότερων περιπτώσεων που θα συναντήσεις, οι οποίες ταξινομούνται σε κατηγορίες.

Τα συνοδευτικά σχήματα στην μεθοδολογία τα κατασκεύασε ο Θανάσης Νικολόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών, τον οποίο ευχαριστώ πάρα πολύ για την σημαντικότατη αυτή βοήθεια.

Κατηγορίες ασκήσεων

  Εμβαδόν επίπεδου χωρίου, το οποίο σχηματίζεται από μία συνάρτηση και τον άξονα x΄x (και μία ή δύο κατακόρυφες ευθείες).

   Εμβαδόν επίπεδου χωρίου, το οποίο σχηματίζεται από δύο συναρτήσεις (και μία ή δύο κατακόρυφες ευθείες).

5η ενότητα  -  Ασκήσεις εφ' όλης της ύλης

Περιγραφή

Περιλαμβάνει 40 εξαιρετικές ασκήσεις, οι οποίες κάλλιστα θα μπορούσαν να είναι θέματα στις Πανελλήνιες Εξετάσεις (κάποιες εξ αυτών, ήταν). Κυριαρχούν μεν ζητούμενα του Διαφορικού Λογισμού, αλλά υπάρχει πάντα και ένα (τουλάχιστον) ζητούμενο με ολοκληρώματα.

Πρόσεξε πάρα πολύ όλες τις ασκήσεις που θα δεις, διότι το πνεύμα και η δομή τους είναι σχεδόν ίδια με τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων! Υπάρχουν ασκήσεις απαιτητικές, αλλά και μέτριας δυσκολίας (υποκειμενικό αυτό όμως).

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν σε δυσκολεύει κάποια άσκηση ή δεν καταλαβαίνεις κάτι στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω.

Προτιμάς το κλασικό βιβλίο;

Πληρώνοντας μόνο το κόστος εκτύπωσης και αποστολής, μπορείς να έχεις ένα όμορφο έγχρωμο βιβλίο στο γραφείο σου και να βελτιώσεις ακόμη περισσότερο την μελέτη σου.

Υποστήριξε την προσπάθεια!

Η κοινοποίηση της σελίδας θα δώσει δύναμη για να γίνουν περισσότερα για σένα, όμως...

...βοήθησε και άλλους!

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν σε δυσκολεύει κάποια άσκηση ή δεν καταλαβαίνεις κάτι στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω.

Προτιμάς το κλασικό βιβλίο;

Πληρώνοντας μόνο το κόστος εκτύπωσης και αποστολής, μπορείς να έχεις ένα όμορφο έγχρωμο βιβλίο στο γραφείο σου και να βελτιώσεις ακόμη περισσότερο την μελέτη σου.

Υποστήριξε την προσπάθεια!

Η κοινοποίηση της σελίδας θα δώσει δύναμη για να γίνουν περισσότερα για σένα, όμως...


...βοήθησε και άλλους!

Βιβλιογραφία - Πηγές ασκήσεων

Όπως ανέφερα στην αρχή, οι 340 λυμένες ασκήσεις του βιβλίου προέρχονται όλες από το διαδίκτυο.

Από τα πολλά και πολύ πλούσια φυλλάδια-συλλογές ασκήσεων που τόσοι πολλοί συνάδελφοι δημοσιεύουν συνεχώς εδώ και χρόνια, οι εργασίες των ακόλουθων κόσμησαν το βιβλίο με τις ασκήσεις που έλυσα για σένα.

Για κάθε φυλλάδιο-συλλογή ασκήσεων θα βρεις και τον σύνδεσμο από τον οποίο μπορείς να αποθηκεύσεις το σχετικό αρχείο (και σου συστήνω να το κάνεις).

Δες τις πηγές των ασκήσεων του βιβλίου

1.  14ο Λύκειο Περιστερίου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, 2016-17

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://www.askisopolis.gr/index.php?p=view.php&id=4280

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtTnJtdWpmYUlnRTQ

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

72-74 , 330 , 333-335.

2.  Θεόδωρος Παγώνης, Γ΄ Λυκείου, Μαθηματικά κατεύθυνσης, 2016-2017

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2016/10/blog-post_24.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtWDBhdFNoRUxjUGs

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

1-13 , 95-96 , 100 , 128-130.

3.  mathimaticos.com

Η ιστοσελίδα δεν υπάρχει πλέον. Το φυλλάδιο από το οποίο αντλήθηκαν ασκήσεις υπάρχει εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtbU5sb19YbGNkUDQ

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

14-24 , 45-56 , 101-107.

4.  Νίκος Σκομπρής, «600 ασκήσεις στο ορισμένο ολοκλήρωμα», έκδοση 2

Το αρχείο θα το βρεις εδώ:  http://lisari.blogspot.gr/2015/08/2015-16.html

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

25-44 , 57-71 , 75-94 , 108-127 , 131-150 , 151-250 , 251-273 , 274-298.

5.  Δημήτρης Ανδρεσάκης

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση  http://eisatopon.blogspot.gr/2015/10/m.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=0ByCvfxuwaBGtMlNUaExsSFRuenc

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

328-329.

6.  Γιώργος Αποστόλου, Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, Ιωάννινα, Ιούνιος 2016

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση  http://apgm.gr/math_kat_clyk.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1cUuzTNNy4XslSCMxWGbDQ0G88sQGO4J9

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

299-300 , 331-332.

7.  Γιώργος Μ. Μιχαηλίδης, Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, Θετική­Τεχνολογική Κατεύθυνση, Πανελλαδικές Εξετάσεις, Πιθανά θέματα, Εκδόσεις Διόφαντος, Ηράκλειο Κρήτης, 2007

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2015/03/blog-post.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=10g2_6QUnovellBC5k9KZXQIYhu9k_1W_

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

313-327.

8.  Νίκος Κ. Ράπτης, 90 επαναληπτικά θέματα Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου Ο.Π. 2016-­2017

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση  http://lisari.blogspot.gr/2017/05/2017.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1RZoqaSVRTqO1U5suMX4LYBM7u6zRNZmw

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

336-337 , 339-340.

9.  Παύλος Τρύφων, blog e-τάξη μου, https://blogs.sch.gr/pavtryfon/

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

338.

10.  Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, «Μαθηματικό στέκι», www.mathsteki.gr

Ασκήσεις 97-99.

Χρειάζεσαι βοήθεια σε κάποιο άλλο μάθημα;

>