Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού είδες έναν νέο τρόπο αντιμετώπισης πολλών γεωμετρικών προβλημάτων. Είδες ένα πλούσιο τυπολόγιο, η Γεωμετρία πολλές φορές έδειξε τον δρόμο και η Άλγεβρα ήταν πάντοτε παρούσα στην πορεία, με καθοριστική συμμετοχή. Δεν ήταν, επίσης, λίγες η φορές που μια πληροφορία από την Γεωμετρία μεταφράστηκε σε αλγεβρική, αλλά και το αντίστροφο.
Πώς θα βάλεις σε μια σειρά και θα ξεκαθαρίσεις όσα έκανες;
Σε αυτό θέλω να σε βοηθήσω με το άρθρο που θα διαβάσεις, οπότε ας μην χάνουμε χρόνο.
Τι διδάχθηκες
Τα κεφάλαια που συνιστούν την ύλη των Μαθηματικών Προσανατολισμού (και στην θεματολογία των οποίων εξετάζεσαι) είναι τα ακόλουθα:
1. Κεφάλαιο 1: Διανύσματα.
2. Κεφάλαιο 2: Η ευθεία στο επίπεδο.
3. Κεφάλαιο 3: Κωνικές τομές (κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή).
Ας τα πάρουμε με την σειρά και ας δούμε μαζί ποια στοιχεία από την θεωρία και ποια θέματα ασκήσεων πρέπει να γνωρίζεις άριστα, για να γράψεις καλά στις εξετάσεις.
Μην το ξεχάσω!
Εννοείται ότι συνεχώς χρειάζεσαι και Άλγεβρα, έτσι; Το έβλεπες συνεχώς στις ασκήσεις, οπότε η επανάληψή σου δεν πρέπει να αφήσει απ’ έξω θέματα που διδάχθηκες εκεί (κυρίως εξισώσεις, ανισώσεις, συστήματα). Το άρθρο που έγραψα για να σε βοηθήσω και στην επανάληψή σου στην Άλγεβρα θα το βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 1: Διανύσματα
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. τους ορισμούς όλων των βασικών εννοιών στα διανύσματα που είδες στις πρώτες τρεις παραγράφους (είναι πολλοί και γι’ αυτό δεν τους καταγράφω εδώ). Φυσικά, και όσες έννοιες αναφέρονται στις άλλες δύο παραγράφους του κεφαλαίου.
Να προσέξεις περισσότερο όσες έννοιες έχουν διπλή ονομασία (π.χ. σημείο εφαρμογής ή αρχή διανύσματος, μέτρο ή μήκος διανύσματος, παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα κ.ά.). Είναι κρίμα να χάσεις κάτι σε μια άσκηση (ή και όλη την άσκηση) επειδή δεν θυμάσαι την μία από τις δύο ονομασίες του σχετικού ορισμού.
2. τους τύπους που υπάρχουν στην παράγραφο 4 (συντεταγμένες στο επίπεδο).
Βασικοί τύποι είναι οι ακόλουθοι (θα τους χρειαστείς και στην Γ΄ Λυκείου, αλλά, προσοχή, δεν είναι οι μόνοι που πρέπει να γνωρίζεις):
Συντεταγμένες μέσου ευθύγραμμου τμήματος, συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα, απόσταση σημείων, συνθήκη παραλληλίας (και τις τρεις μορφές της).
3. τους τύπους που υπάρχουν στην παράγραφο 5 (εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων).
Βασικοί τύποι είναι:
Ο ορισμός του εσωτερικού γινομένου, πώς υπολογίζεις το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες τους, συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων.
Ασκήσεις
Να γνωρίζεις άριστα:
1. πότε και πώς χρησιμοποιούνται οι τύποι που υπάρχουν στην παράγραφο 4 (συντεταγμένες στο επίπεδο).
2. τα θέματα που εμπλέκουν την συνθήκη παραλληλίας (πρώτη σκέψη να είναι η μορφή της με την ορίζουσα των δύο διανυσμάτων). Πολύ χαρακτηριστικό θέμα είναι αυτό των τριών συνευθειακών σημείων (συνθήκη που θα χρειαστείς και στην Γ΄ Λυκείου).
3. πώς θα βρεις την γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x΄x.
4. πώς θα βρεις το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, είτε γνωρίζεις τις συντεταγμένες τους είτε όχι.
5. θέματα τα οποία εμπλέκουν την συνθήκη καθετότητας δύο διανυσμάτων.
6. τι μπορείς ή πρέπει να κάνεις, όταν έχεις μέτρο γραμμικού συνδυασμού δύο διανυσμάτων (σε θέμα υπολογισμού τέτοιου μέτρου, εξαρχής υπολογίζεις το τετράγωνό του, ενώ σε θέμα που γνωρίζεις την τιμή ενός τέτοιου μέτρου, υψώνεις τα δύο μέλη στο τετράγωνο).
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 2: Η ευθεία στο επίπεδο
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. πώς ορίζεται η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον άξονα x΄x και, εξ αυτού, πώς ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ή κλίση μιας ευθείας).
2. πώς θα βρεις την κλίση μιας ευθείας, όταν γνωρίζεις δύο σημεία από τα οποία αυτή διέρχεται.
3. την συνθήκη παραλληλίας δύο ευθειών και την συνθήκη καθετότητας δύο ευθειών.
4. ποια είναι η εξίσωση η οποία δίνει την εξίσωση μιας ευθείας, όταν γνωρίζεις ένα σημείο από το οποίο αυτή διέρχεται και την κλίση της.
5. ποια είναι η μορφή της εξίσωσης μιας κατακόρυφης και μιας οριζόντιας ευθείας.
6. ποια είναι η μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Εδώ, οπωσδήποτε να ξέρεις τις εξισώσεις δύο βασικότατων ευθειών: της διχοτόμου της γωνίας 1ου - 3ου τεταρτημορίου και της διχοτόμου της γωνίας 2ου - 4ου τεταρτημορίου.
7. πότε μια εξίσωση της μορφής αx + βy + γ = 0 παριστάνει ευθεία.
8. ποιο διάνυσμα είναι παράλληλο σε μια ευθεία, ποιο διάνυσμα είναι κάθετο σε μια ευθεία.
9. τον τύπο που δίνει την απόσταση ενός σημείου από μία ευθεία.
10. τον τύπο που δίνει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου.
Ασκήσεις
Το ρεπερτόριο είναι πολύ πλούσιο, όμως πρέπει να γνωρίζεις άριστα:
1. πώς θα βρεις τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας.
2. πώς θα βρεις την εξίσωση μιας ευθείας.
3. πώς θα βρεις τα σημεία τομής μιας ευθείας με τους άξονες x΄x και y΄y.
4. πώς θα σχεδιάσεις μια ευθεία.
5. πώς θα βρεις το σημείο τομής δύο ευθειών.
6. πώς θα χειριστείς θέμα το οποίο εμπλέκει το τρίγωνο που σχηματίζει μια ευθεία με τους άξονες (π.χ. το εμβαδόν του ή το να είναι ισοσκελές).
7. πώς θα δείξεις ότι μια εξίσωση της μορφής αx + βy + γ = 0 παριστάνει ευθεία.
8. πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση της μορφής αx + βy + γ = 0, όπου α, β, γ παραστάσεις κάποιας παραμέτρου, παριστάνει ευθείες οι οποίες διέρχονται από σταθερό σημείο.
9. πώς θα βρεις την οξεία γωνία που σχηματίζουν δύο ευθείες μεταξύ τους.
10. ποιες πληροφορίες μπορείς να πάρεις από την εξίσωση μιας ευθείας, όταν αυτή είναι γνωστή.
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 3: Κωνικές τομές
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. ποιες είναι οι μορφές των εξισώσεων ενός κύκλου (όταν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και όταν δεν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων).
2. πότε μια εξίσωση της μορφής x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0 παριστάνει κύκλο.
3. ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου σε γνωστό του σημείο, όταν αυτός έχει κέντρο την αρχή των αξόνων.
4. στην παραβολή, την έλλειψη και την υπερβολή, όλα τα βασικά στοιχεία που τις αφορούν (ορισμός, βασικές έννοιες, εξίσωση της κωνικής τομής, εξίσωση εφαπτομένης σε γνωστό σημείο).
Ασκήσεις
Να γνωρίζεις καλά:
1. πώς θα βρεις την εξίσωση ενός κύκλου.
2. την συνθήκη επαφής μιας ευθείας με έναν κύκλο (εμφανίζεται πολύ συχνά στις ασκήσεις), μαζί με άλλες βασικές προτάσεις της Γεωμετρίας που αφορούν τον κύκλο (θα τις βρεις στο e-book θεωρίας που έχω γράψει για τον κύκλο, εδώ).
3. πώς θα αποδείξεις ότι μια εξίσωση της μορφής x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0 παριστάνει κύκλο, αλλά και ποια σχέση ισχύει, όταν τέτοια εξίσωση ξέρεις ότι (ή πρέπει να) παριστάνει κύκλο.
4. πώς θα βρεις την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου, όταν αυτός έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, αλλά και όταν έχει κέντρο άλλο σημείο, διαφορετικό του Ο, είτε δίνεται το σημείο επαφής είτε όχι.
5. πώς θα βρεις την εξίσωση μιας παραβολής, μιας έλλειψης, μιας υπερβολής.
6. πώς θα πάρεις βασικά στοιχεία που αφορούν μια παραβολή, μια έλλειψη, μια υπερβολή, όταν είναι γνωστή η εξίσωση της κωνικής τομής (π.χ. εστία/-ες, διευθετούσα, κορυφές κ.λπ).
7. πώς θα βρεις την εξίσωση της εφαπτομένης μιας παραβολής, μιας έλλειψης, μιας υπερβολής, είτε δίνεται το σημείο επαφής είτε όχι.
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Τράπεζα Θεμάτων
Στην επανάληψή σου, οπωσδήποτε θα πρέπει να συμπεριλάβεις και την εκ νέου μελέτη ασκήσεων που είδες στην Τράπεζα Θεμάτων!
• Μην πιάσεις να τα ξαναλύσεις! Αδίκως θα χάσεις χρόνο και κόπο.
• Μην δοκιμάσεις να μάθεις απ’ έξω ασκήσεις! Είναι αδύνατο, κανένας μας δεν μπορεί να το κάνει.
Στο 2ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι εύκολα (έως πολύ εύκολα πολλές φορές). Ξαναδές χαρακτηριστικές ασκήσεις, όπως αυτές είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο και ανά παράγραφο (μπορείς να δεις όλες τις ασκήσεις του 2ου θέματος της Τράπεζας εδώ).
Στο 4ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι πιο απαιτητικά, αν και μεγάλο μέρος των ζητούμενων στηρίζεται σε ό,τι είδες στις πλέον χαρακτηριστικές ασκήσεις ανά κεφάλαιο και παράγραφο καθ’ όλη την χρονιά. Θα ήταν πολύ καλό να ασχοληθείς με αρκετά τέτοια θέματα, καθώς οδεύεις προς την τελική ευθεία (δυστυχώς, εδώ το «Μαθηματικό στέκι» δεν μπορεί ακόμη να σε υποστηρίξει σε αυτό).
Συνοψίζοντας:
1. ξαναδές προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, ιδιότητες, θεωρήματα, παρατηρήσεις).
Πάντα αυτή σε υποστηρίζει κατά την επίλυση μιας άσκησης (συνεργαζόμενη με την μεθοδολογία).
Όμως, στις εξετάσεις το πρώτο θέμα που θα αντιμετωπίσεις θα είναι το θέμα θεωρίας, στο οποίο οι καθηγητές στο σχολείο θα σου ζητήσουν να γράψεις την απόδειξη ενός θεωρήματος (σύνηθες) και να κρίνεις κάποιες προτάσεις αν είναι σωστές ή λανθασμένες (5 προτάσεις συνήθως).
Επομένως, το να γνωρίζεις καλά την θεωρία θα σε βοηθήσει να αντιμετωπίσεις το πρώτο θέμα στις εξετάσεις σου με επιτυχία.
2. ξαναδές προσεκτικά την μεθοδολογία βασικών θεμάτων ασκήσεων.
Από τα 4 θέματα που θα έχεις να αντιμετωπίσεις στις εξετάσεις, τα 3 θα είναι ασκήσεις (θέματα Β, Γ και Δ). Όπως γνωρίζεις, τα θέματα Β και Δ θα προκύψουν με κλήρωση από την Τράπεζα Θεμάτων, ενώ το Γ θα το δημιουργήσουν οι καθηγητές του σχολείου σου.
Στην πλειονότητά τους, τα ζητούμενα που θα δεις στις εξετάσεις θα εμπίπτουν σε κάποια από τις χαρακτηριστικές ασκήσεις που είδες κατά την προετοιμασία σου.
3. ξαναδές βασικές και χαρακτηριστικές ασκήσεις και ζητούμενά τους.
«Ξαναδές» σημαίνει μελέτησε ξανά προσεκτικά τις λύσεις τους. Μην πιάσεις να τις ξαναλύσεις, δεν έχεις χρόνο για ξόδεμα! Έχε από την μία την εκφώνηση της άσκησης και από την άλλη το τετράδιό σου με την λύση της. Αυτό είναι πολύ πιο αποδοτικό.
Ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και θέματα από την Τράπεζα με την οποία ασχολήθηκες (ελπίζω) με τον καθηγητή σου, είναι υπεραρκετά για την τελική ευθεία.
Εύχομαι να γράψεις καλά στις εξετάσεις σου!