Στην Άλγεβρα είδες πολλά και σημαντικά θέματα, ειδικά σε είδη εξισώσεων και ανισώσεων. Επίσης, εμπλούτισες αρκετά τις γνώσεις σου στις συναρτήσεις και μπήκες σε αρκετά πιο βαθιά νερά στην Τριγωνομετρία.
Πώς, όμως, θα βάλεις σε μια σειρά και θα ξεκαθαρίσεις όσα έκανες;
Σε αυτό θέλω να σε βοηθήσω με το άρθρο που θα διαβάσεις, οπότε ας μην χάνουμε χρόνο.
Τι διδάχθηκες
Τα κεφάλαια που συνιστούν την ύλη της Άλγεβρας (και στην θεματολογία των οποίων εξετάζεσαι) είναι τα ακόλουθα:
1. Κεφάλαιο 1: Συστήματα.
2. Κεφάλαιο 2: Ιδιότητες συναρτήσεων.
3. Κεφάλαιο 3: Τριγωνομετρία.
4. Κεφάλαιο 4: Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις.
5. Κεφάλαιο 5: Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση.
Όχι και λίγα, ε; Ας τα πάρουμε με την σειρά και ας δούμε μαζί ποια στοιχεία από την θεωρία και ποια χαρακτηριστικά είδη ασκήσεων πρέπει να γνωρίζεις άριστα, για να γράψεις καλά στις εξετάσεις.
Μην το ξεχάσω!
Εννοείται ότι χρειάζεσαι και όσα διδάχθηκες στην Άλγεβρα της Α' Λυκείου, έτσι;
Κεφάλαιο 1: Συστήματα
Θεωρία
Να γνωρίζεις καλά τα παρακάτω:
1. ποια εξίσωση ονομάζουμε γραμμική εξίσωση και πότε αυτή παριστάνει ευθεία.
2. τι ονομάζουμε λύση μιας γραμμικής εξίσωσης.
3. τι ονομάζουμε γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
4. πότε δύο συστήματα λέγονται ισοδύναμα.
Ασκήσεις
Τα συστήματα είναι ένα από τα βασικά και πολύ σημαντικά εργαλεία της Άλγεβρας και το πώς θα λύσεις ένα σύστημα είναι καίριας σημασίας.
Επομένως, να γνωρίζεις άριστα πώς θα λύσεις ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με την μέθοδο της αντικατάστασης (1η μέθοδος) και με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών (2η μέθοδος, η οποία λέγεται και μέθοδος της απαλοιφής).
Να θυμάσαι ότι η δεύτερη μέθοδος είναι η προτεινόμενη, διότι είναι πιο γρήγορη και ξεκούραστη σε σχέση με την πρώτη. Όμως, αυτό δεν συμβαίνει πάντα, αφού ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να έχει εξαρχής τέτοια μορφή, που η μέθοδος της αντικατάστασης να αποδεικνύεται γρηγορότερη αυτής των αντίθετων συντελεστών.
Επίσης, να ξέρεις και πώς θα λύσεις ένα σύστημα δύο εξισώσεων με έναν άγνωστο (τέτοια συστήματα έχεις ήδη συναντήσει στην Α’ Λυκείου).
ΠΡΟΣΟΧΗ!
Αν είσαι στην ομάδα προσανατολισμού θετικών σπουδών ή οικονομίας/πληροφορικής, τότε πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζεις άριστα και τα παρακάτω (αγνόησε παντελώς το γεγονός ότι αυτά επισήμως είναι εκτός ύλης, διότι πρόκειται περί εγκληματικού λάθους):
1. πώς θα λύσεις ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με την μέθοδο των οριζουσών, είτε το σύστημα έχει σταθερούς αριθμητικούς συντελεστές είτε έχει παραμετρικούς συντελεστές.
Στην περίπτωση των παραμετρικών συντελεστών, η μέθοδος των οριζουσών παρέχει πολύ μεγαλύτερη ασφάλεια για την επίλυση - διερεύνηση του συστήματος.
2. πώς θα λύσεις ένα γραμμικό σύστημα 3x3, δηλαδή τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
3. πώς θα λύσεις ένα μη γραμμικό σύστημα (έχεις ήδη δει τέτοια συστήματα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού).
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 2: Ιδιότητες συναρτήσεων
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. τους ορισμούς της γνησίως αύξουσας και γνησίως φθίνουσας συνάρτησης.
2. τους ορισμούς του ελαχίστου και μεγίστου συνάρτησης.
3. τους ορισμούς της άρτιας και περιττής συνάρτησης, καθώς και τις χαρακτηριστικές συμμετρίες που έχουν οι γραφικές τους παραστάσεις.
4. τις μετατοπίσεις των γραφικών παραστάσεων (κατακόρυφες και οριζόντιες μετατοπίσεις).
Ασκήσεις
Μελέτησε ξανά τις σχετικές ασκήσεις του σχολικού βιβλίου (είναι ιδιαιτέρως αντιπροσωπευτικές).
Πολύ χαρακτηριστικές είναι οι ασκήσεις στις οποίες το ζητούμενο είναι να αποδείξεις ότι μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
Κεφάλαιο 3: Τριγωνομετρία
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, μέσω ενός ορθογωνίου τριγώνου.
2. την θεωρία που αφορά τον τριγωνομετρικό κύκλο.
3. τον ορισμό του ακτινίου (rad).
4. τον τύπο που μετατρέπει μοίρες σε ακτίνια και αντιστρόφως.
5. τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των βασικών γωνιών 0°, 30°, 45°, 60° και 90°.
6. τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες (βασικοί τύποι της Τριγωνομετρίας).
7. τους τύπους αναγωγής μιας γωνίας στο 1ο τεταρτημόριο.
8. τον ορισμό της περιοδικής συνάρτησης.
9. τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις.
10. την συνάρτηση f(x) = ρ ημωx και την συνάρτηση f(x) = ρ ημ(ωx) + c.
11. τους τύπους λύσεων των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Ασκήσεις
Να γνωρίζεις άριστα:
1. αποδεικτικές ασκήσεις στις οποίες γίνεται καθολική (σχεδόν) χρήση των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
2. πώς θα υπολογίσεις τριγωνομετρικό αριθμό γωνίας μεγαλύτερης των 90° και μεγαλύτερης των 360° (αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο).
3. πώς αντιμετωπίζεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της μορφής ημ(π + x) , συν(π - x) κ.λπ (αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο).
4. πώς θα βρεις την περίοδο, την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή συνάρτησης της μορφής f(x) = ρ ημ(ωx) + c.
5. πώς θα λύσεις τριγωνομετρική εξίσωση.
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 4: Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις.
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. τους βασικούς ορισμούς στα πολυώνυμα: τι ονομάζουμε πολυώνυμο, τι ονομάζουμε βαθμό ενός πολυωνύμου, πότε ένας αριθμός λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου κ.λπ (πρώτη παράγραφος στο σχολικό βιβλίο).
Στους ορισμούς αυτούς στηρίζεται μεγάλος αριθμός ασκήσεων.
2. το θεώρημα της ταυτότητας της διαίρεσης μεταξύ δύο πολυωνύμων.
3. το θεώρημα που αναφέρεται στο υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ.
4. το θεώρημα που αναφέρεται στο πότε ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ είναι παράγοντας ενός πολυωνύμου P(x).
5. το θεώρημα ακέραιων ριζών.
Ασκήσεις
Να γνωρίζεις άριστα:
1. πώς θα αντιμετωπίσεις άσκηση στην οποία εμφανίζεται ισότητα πολυωνύμων ή το μηδενικό πολυώνυμο.
2. τι κάνεις, όταν πρέπει να εξετάσεις ή να δείξεις ή γνωρίζεις ότι ένας αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου.
3. πώς θα διαιρέσεις δύο πολυώνυμα:
α) με τον κλασικό τρόπο, αν ο διαιρέτης δεν είναι πολυώνυμο της μορφής x - ρ.
β) με το σχήμα Horner, αν ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο της μορφής x - ρ.
4. τι μπορείς να κάνεις με το σχήμα Horner.
5. πώς θα λύσεις πολυωνυμική εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3.
6. πώς θα λύσεις ανίσωση - γινόμενο (παραγοντοποιημένη πολυωνυμική ανίσωση).
7. πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση (θέμα ήδη γνωστό από την Α' Λυκείου).
8. πώς θα λύσεις ρητή ανίσωση.
9. πώς θα λύσεις εξίσωση με τετραγωνικές ρίζες.
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Κεφάλαιο 5: Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση
Θεωρία
Να γνωρίζεις άριστα:
1. ό,τι αφορά την εκθετική συνάρτηση (πώς ορίζεται, ποιες ιδιότητες έχει, κ.λπ).
2. πώς ορίζεται ο λογάριθμος και ποιες ιδιότητες έχει.
3. ό,τι αφορά την λογαριθμική συνάρτηση (πώς ορίζεται, ποιες ιδιότητες έχει, κ.λπ).
Ασκήσεις
Να γνωρίζεις άριστα:
1. πώς θα λύσεις μια εκθετική εξίσωση.
2. πώς θα λύσεις μια εκθετική ανίσωση.
3. πώς θα κάνεις πράξεις με λογάριθμους (αποδεικτικές και υπολογιστικές ασκήσεις με λογάριθμους).
4. πώς θα λύσεις μια λογαριθμική εξίσωση.
5. πώς θα λύσεις μια λογαριθμική ανίσωση.
Όλα τα παραπάνω, με σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο (όπου σημειώνονται και οι βασικότερες ασκήσεις που πρέπει να αντιμετωπίζεις με άνεση) και επιπλέον αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις, μπορείς να τα βρεις εδώ.
Τράπεζα Θεμάτων
Στην επανάληψή σου, οπωσδήποτε θα πρέπει να συμπεριλάβεις και την εκ νέου μελέτη ασκήσεων που είδες στην Τράπεζα Θεμάτων!
• Μην πιάσεις να τα ξαναλύσεις! Αδίκως θα χάσεις χρόνο και κόπο.
• Μην δοκιμάσεις να μάθεις απ’ έξω ασκήσεις! Είναι αδύνατο, κανένας μας δεν μπορεί να το κάνει.
Στο 2ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι εύκολα (έως πολύ εύκολα πολλές φορές). Ξαναδές χαρακτηριστικές ασκήσεις, όπως αυτές είναι ταξινομημένες ανά κεφάλαιο και ανά παράγραφο (δυστυχώς, το «Μαθηματικό στέκι» δεν μπορεί ακόμη να σε υποστηρίξει σε αυτό).
Στο 4ο θέμα της Τράπεζας, σε γενικές γραμμές τα πράγματα είναι πιο απαιτητικά, αν και μεγάλο μέρος των ζητούμενων στηρίζεται σε ό,τι είδες στις πλέον χαρακτηριστικές ασκήσεις ανά κεφάλαιο και παράγραφο καθ’ όλη την χρονιά. Θα ήταν πολύ καλό να ασχοληθείς με αρκετά τέτοια θέματα, καθώς οδεύεις προς την τελική ευθεία (δυστυχώς, και εδώ το «Μαθηματικό στέκι» δεν μπορεί ακόμη να σε υποστηρίξει σε αυτό).
Συνοψίζοντας:
1. ξαναδές προσεκτικά την θεωρία (ορισμούς, ιδιότητες, θεωρήματα, παρατηρήσεις).
Πάντα αυτή σε υποστηρίζει κατά την επίλυση μιας άσκησης (συνεργαζόμενη με την μεθοδολογία).
Όμως, στις εξετάσεις το πρώτο θέμα που θα αντιμετωπίσεις θα είναι το θέμα θεωρίας, στο οποίο οι καθηγητές στο σχολείο θα σου ζητήσουν να γράψεις την απόδειξη ενός θεωρήματος (σύνηθες) και να κρίνεις κάποιες προτάσεις αν είναι σωστές ή λανθασμένες (5 προτάσεις συνήθως).
Επομένως, το να γνωρίζεις καλά την θεωρία θα σε βοηθήσει να αντιμετωπίσεις το πρώτο θέμα στις εξετάσεις σου με επιτυχία.
2. ξαναδές προσεκτικά την μεθοδολογία βασικών θεμάτων ασκήσεων.
Από τα 4 θέματα που θα έχεις να αντιμετωπίσεις στις εξετάσεις, τα 3 θα είναι ασκήσεις (θέματα Β, Γ και Δ). Όπως γνωρίζεις, τα θέματα Β και Δ θα προκύψουν με κλήρωση από την Τράπεζα Θεμάτων, ενώ το Γ θα το δημιουργήσουν οι καθηγητές του σχολείου σου.
Στην πλειονότητά τους, τα ζητούμενα που θα δεις στις εξετάσεις θα εμπίπτουν σε κάποια από τις χαρακτηριστικές ασκήσεις που είδες κατά την προετοιμασία σου.
3. ξαναδές βασικές και χαρακτηριστικές ασκήσεις και ζητούμενά τους.
«Ξαναδές» σημαίνει μελέτησε ξανά προσεκτικά τις λύσεις τους. Μην πιάσεις να τις ξαναλύσεις, δεν έχεις χρόνο για ξόδεμα! Έχε από την μία την εκφώνηση της άσκησης και από την άλλη το τετράδιό σου με την λύση της. Αυτό είναι πολύ πιο αποδοτικό.
Ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και θέματα από την Τράπεζα με την οποία ασχολήθηκες (ελπίζω) με τον καθηγητή σου, είναι υπεραρκετά για την τελική ευθεία.
Εύχομαι να γράψεις καλά στις εξετάσεις σου!