Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ – ΑΛΓΕΒΡΑ – Πολυώνυμα

Το κεφάλαιο των πολυωνύμων είναι από τα σημαντικότερα που διδάσκονται στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου.

Γενικώς τα πολυώνυμα, ειδικότερα δε οι πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις, καθώς και εξισώσεις-ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές, έχουν πολύ έντονη παρουσία στα Μαθηματικά (και της Γ΄ Λυκείου φυσικά). Μεγάλο μέρος των θεμάτων του κεφαλαίου περιστρέφεται γύρω από μεθόδους επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, τις οποίες πρέπει να προσέξεις πάρα πολύ, διότι θα τις χρειαστείς πάρα πολλές φορές.

Τι θα διαβάσεις στο «Μαθηματικό στέκι»

Το «Μαθηματικό στέκι» έχει ετοιμάσει για σένα αναλυτικά ebooks με θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων, για κάθε παράγραφο της θεωρίας του σχολικού βιβλίου, καθώς επίσης και λυμένες ασκήσεις.

Σε κάθε παράγραφο μεταφέρεται αυτούσια η θεωρία του σχολικού βιβλίου (η οποία πάντα βρίσκεται εντός απαλής γκρι σκίασης στα ebooks) και εμπλουτίζεται με πολλές συμπληρώσεις, παρατηρήσεις, επισημάνσεις, σχόλια και συνοδευτικά παραδείγματα (όπου αυτό κρίθηκε απαραίτητο).

Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.

Οι 220 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε εννέα (9) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Η προέλευση των ασκήσεων καταγράφεται στις πηγές ασκήσεων κάθε κατηγορίας.

Διάβαζε σωστά, διάβαζε αποδοτικά!

Η σωστή σειρά στην μελέτη, είναι η εξής:

1.  Διάβαζε προσεκτικά ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία των ασκήσεων

3.  Μελέτα προσεκτικά τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις

Αφού κάνεις τα παραπάνω -και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα- και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις! Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από την ενασχόλησή σου με ασκήσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.

Για να διευκολύνω την μελέτη σου, χώρισα κάθε παράγραφο στο τεύχος θεωρίας και μεθοδολογίας ασκήσεων (είναι τα βήματα 1 και 2 που προανέφερα) και στα τεύχη ασκήσεων για κάθε κατηγορία (είναι το βήμα 3).

Κάνε σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο

Έχω εμπλουτίσει το σχολικό βιβλίο με πολύ χρήσιμες σημειώσεις που σε συμβουλεύω να κάνεις, διότι θα ξέρεις ποια σημεία είναι σημαντικά, στην θεωρία και τις ασκήσεις.

Πάτησε στην εικόνα του για να δεις και να κάνεις τις σημειώσεις στο βιβλίο σου.

Περιεχόμενα του κεφαλαίου

Το κεφάλαιο αποτελείται από πέντε παραγράφους (η σειρά των παραγράφων 1 έως και 4 είναι ακριβώς ίδια με του σχολικού βιβλίου, αλλά η παράγραφος 5 είναι δική μου προσθήκη) :

Πάτησε στην παράγραφο που σε ενδιαφέρει για να διαβάσεις ό,τι έχει ετοιμάσει για σένα το «Μαθηματικό στέκι».

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Τα ebooks που θα διαβάσεις δεν διατίθενται σε έντυπη μορφή.

Παράγραφος  1  -  Πολυώνυμα

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις:

  • τους βασικούς ορισμούς στα πολυώνυμα.
  • ποιο πολυώνυμο αποκαλείται μηδενικό και πώς συναντάται στις ασκήσεις.
  • ποιο πολυώνυμο αποκαλείται σταθερό, ποιο πολυώνυμο αποκαλείται σταθερό και μη μηδενικό και πώς συναντάται στις ασκήσεις.
  • για την ισότητα δύο πολυωνύμων και πώς συναντάται στις ασκήσεις.
  • πώς ορίζεται ο βαθμός ενός πολυωνύμου και τι είδους ασκήσεις χρειάζονται την θεωρία περί βαθμού.
  • πώς θα κάνεις πράξεις μεταξύ πολυωνύμων.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  1

Βασικές έννοιες στα πολυώνυμα

Στις 35 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα δεις πώς τα στοιχεία που διάβασες στην θεωρία συναντώνται στις ασκήσεις. Θα δεις ασκήσεις για το μηδενικό πολυώνυμο, για την ισότητα δύο πολυωνύμων, για τον βαθμό ενός πολυωνύμου και άλλα.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 1

Ασκήσεις 1 - 10

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 11 - 19

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 20 - 31

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 32 - 35

Νίκος Λαμπρόπουλος, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Α΄ τεύχος, εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 1994.

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Παράγραφος  2  -  Διαίρεση πολυωνύμων

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις:

  • πώς γίνεται η διαίρεση δύο πολυωνύμων.
  • πώς γίνεται η διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με πολυώνυμο της μορφής x - ρ ειδικότερα.
  • ένα βασικότατο θεώρημα για το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με πολυώνυμο της μορφής x - ρ.
  • πότε ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ είναι παράγοντας ενός πολυωνύμου P(x).
  • για το σχήμα του Horner (Χόρνερ), το οποίο είναι ένα πολύ σημαντικό και χρήσιμο εργαλείο στα πολυώνυμα, και τι μπορείς να κάνεις με αυτό.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  2

Διαίρεση πολυωνύμων και σχήμα του Horner

Στις 30 ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα δεις πολύ χαρακτηριστικές και αντιπροσωπευτικές ασκήσεις που συνδέονται με τα θέματα της θεωρίας της παραγράφου 2, ειδικότερα με το σχήμα του Horner.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 2

Ασκήσεις 36 - 51

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 52 - 59

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 60 - 65

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Παράγραφος  3  -  Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις τα εξής, πολύ σημαντικά θέματα (όλα με βήμα προς βήμα αναλυτική μεθοδολογία) :

  • για το θεώρημα των ακέραιων ριζών, το οποίο είναι βασικό στην θεωρία των πολυωνύμων και στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3.
  • πώς θα λύσεις πολυωνυμική εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3, με ή χωρίς την χρήση του σχήματος Horner.
  • πώς θα βρεις το πρόσημο ενός τριωνύμου.
  • πώς θα λύσεις ανίσωση δευτέρου βαθμού.
  • πώς θα λύσεις παραγοντοποιημένη πολυωνυμική ανίσωση (ανίσωση γινόμενο). Πολύ σημαντικό θέμα, πρόσεξέ το πάρα πολύ!
  • πώς θα λύσεις πολυωνυμική ανίσωση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  3

Πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3

Στις 20 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 3

Ασκήσεις 66 - 74

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 74 - 85

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  4

Πολυωνυμικές ανισώσεις παραγοντοποιημένες ή βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3

Στις 35 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις παραγοντοποιημένη πολυωνυμική ανίσωση ή ανίσωση με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 3.

Πρόσεξε πάρα πολύ κάθε άσκηση, διότι τα βήματα που πρέπει να κάνεις για να λύσεις μία παραγοντοποιημένη πολυωνυμική ανίσωση έχουν πολύ λεπτά σημεία σε κάποιες περιπτώσεις. Γι' αυτό, στις περισσότερες ασκήσεις υπάρχει πολύ αναλυτική εξήγηση για κάθε βήμα.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 4

Ασκήσεις 86 - 91

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 92 - 104

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 105 - 120

Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, Β΄ τεύχος, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012

Παράγραφος  4  -  Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Στο ebook της θεωρίας θα διαβάσεις τα εξής, πολύ σημαντικά θέματα (όλα με βήμα προς βήμα αναλυτική μεθοδολογία) :

  • πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση, δηλαδή εξίσωση με κλάσματα τα οποία έχουν, στον παρονομαστή ή και στον αριθμητή, πολυώνυμα. Δεν θα δεις κάτι νέο ουσιαστικά, αφού το θέμα το έχεις ήδη διδαχτεί από την Γ΄ Γυμνασίου.
  • πώς θα λύσεις ρητή ανίσωση, δηλαδή ανίσωση με κλάσματα τα οποία έχουν, στον παρονομαστή ή και στον αριθμητή, πολυώνυμα.
  • πώς θα λύσεις άρρητη εξίσωση, δηλαδή εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από τετραγωνική ρίζα (αναφέρω την τετραγωνική ρίζα, διότι είναι αυτή που θα συναντάς τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις).
  • πώς θα λύσεις άρρητη ανίσωση, δηλαδή ανίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από τετραγωνική ρίζα (αναφέρω την τετραγωνική ρίζα, διότι είναι αυτή που θα συναντάς τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις). Η περίπτωση αυτή είναι η πιο λεπτή όλου του κεφαλαίου.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  5

Ρητές εξισώσεις και εξισώσεις που λύνονται με αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση)

Στις 20 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις ρητή εξίσωση, δηλαδή ανίσωση με κλάσματα τα οποία έχουν, στον παρονομαστή ή και στον αριθμητή, πολυώνυμα, καθώς και εξίσωση που λύνεται με αλλαγή μεταβλητής (αντικατάσταση).

Η μέθοδος αλλαγής μεταβλητής δεν είναι νέα, αφού ήδη την έχεις δει στην Α΄ Λυκείου (π.χ. εξισώσεις με μία απόλυτη τιμή, διτετράγωνες εξισώσεις).

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 5

Ασκήσεις 121 - 128

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 129 - 137

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 138 - 140

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  6

Ρητές ανισώσεις

Στις 25 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις ρητή ανίσωση, δηλαδή ανίσωση με κλάσματα τα οποία έχουν, στον παρονομαστή ή και στον αριθμητή, πολυώνυμα.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 6

Ασκήσεις 141 - 143

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 144 - 162

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 163 - 165

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  7

Άρρητες εξισώσεις

Στις 20 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις άρρητη εξίσωση, δηλαδή εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από τετραγωνική ρίζα (αναφέρω την τετραγωνική ρίζα, διότι είναι αυτή που θα συναντάς τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις).

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 7

Ασκήσεις 166 - 173

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 174 - 182

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 183 - 185

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  8

Άρρητες ανισώσεις

Στις 20 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς θα λύσεις άρρητη ανίσωση, δηλαδή ανίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από τετραγωνική ρίζα (αναφέρω την τετραγωνική ρίζα, διότι είναι αυτή που θα συναντάς τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις).

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 8

Ασκήσεις 186 - 187

Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Β΄ Λυκείου, Άλγεβρα

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html 

Άσκηση 188

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 189 - 193

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 194 - 201

Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, τεύχος Β΄, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012

Ασκήσεις 202 - 205

Πέτρος Τόγκας, Άλγεβρα και συμπλήρωμα Άλγεβρας, τόμος Β΄, έκδοση 27η, εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα Ο.Ε, Αθήνα, 1959

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Παράγραφος  5  -  Εφαρμογές εξισώσεων και ανισώσεων στις συναρτήσεις

Στο ebook της θεωρίας θα δεις πώς η επίλυση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ή ανίσωσης απαντάει σε βασικά θέματα των συναρτήσεων, τα οποία είδες και στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου και είναι:

  • πώς θα βρεις το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης.
  • πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης με τον άξονα x΄x.
  • πώς θα βρεις πού τέμνει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τον άξονα y΄y.
  • πώς θα βρεις πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω ή κάτω από τον άξονα x΄x.
  • πώς θα βρεις τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων.
  • πώς θα βρεις πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω ή κάτω από την γραφική παράσταση άλλης συνάρτησης.
  • πώς θα βρεις τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με μία ευθεία.
  • πώς θα βρεις πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι πάνω ή κάτω από μία ευθεία.

Όλα τα παραπάνω θέματα είναι ήδη γνωστά από την Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου και εδώ γίνεται σύνοψη και επανάληψή τους. Αυτούσια θα τα συναντήσεις και στην Γ΄ Λυκείου.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  9

Εφαρμογές εξισώσεων - ανισώσεων στις συναρτήσεις

Γενικές ασκήσεις στο κεφάλαιο

Στις 15 ασκήσεις θα δεις πώς οι εξισώσεις και οι ανισώσεις εμπλέκονται και λύνουν βασικά θέματα στις συναρτήσεις (αναφέρθηκαν παραπάνω αναλυτικά).

Επίσης, θα δεις γενικές ασκήσεις σε όλο το κεφάλαιο, ιδανικές για διαγωνίσματα.

Πηγές ασκήσεων κατηγορίας 9

Ασκήσεις 206 - 211

Αλκιβιάδης Τζελέπης, Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Ασκήσεις 212 - 217

Ευάγγελος Τόλης, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Το αρχείο το βρήκα στην διεύθυνση

http://eisatopon.blogspot.gr/2015/09/blog-post_63.html

Ασκήσεις 218 - 220

Νίκος Λαμπρόπουλος, «Άλγεβρα Β΄ Λυκείου», Α΄ τεύχος, εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 1994

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση

http://parmenides51.blogspot.gr/p/blog-page_4.html

Χρειάζεσαι βοήθεια σε κάποιο άλλο μάθημα;

>