Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ – ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ – Διανύσματα

Το κεφάλαιο των διανυσμάτων είναι το πρώτο κεφάλαιο της Αναλυτικής Γεωμετρίας (στην Ελλάδα την αποκαλούμε «Μαθηματικά Προσανατολισμού» και είναι μεγάλο λάθος, αφού απομακρύνει τον μαθητή από το αντικείμενο του μαθήματος), ενός μαθήματος που εισάγει νέους τρόπους αντιμετώπισης αρκετών γεωμετρικών θεμάτων.

Η έννοια του διανύσματος είναι γνωστή από την Φυσική (κλασικό παράδειγμα, η ταχύτητα ενός σώματος) και εδώ θα μάθεις πώς τα διανύσματα βοηθούν στην αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων, με χρήση συντεταγμένων κυρίως.

Τι θα διαβάσεις στο «Μαθηματικό στέκι»

Το «Μαθηματικό στέκι» έχει ετοιμάσει για σένα αναλυτικά ebooks με θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων, καθώς επίσης και λυμένες ασκήσεις, τα οποία υπερκαλύπτουν όλα όσα χρειάζεσαι για να κατανοήσεις τα διανύσματα.

Σε κάθε παράγραφο μεταφέρεται αυτούσια η θεωρία του σχολικού βιβλίου (η οποία πάντα βρίσκεται εντός πράσινου πλαισίου στα ebooks) και εμπλουτίζεται με πολλές συμπληρώσεις, παρατηρήσεις, επισημάνσεις, σχόλια και συνοδευτικά παραδείγματα (όπου αυτό κρίθηκε απαραίτητο).

Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.

Οι 230 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε δέκα (10) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Η προέλευση κάθε άσκησης καταγράφεται στην βιβλιογραφία όλου του βιβλίου.

Όσα θα διαβάσεις στα ebooks παρακάτω, προέρχονται από το ενιαίο βιβλίο που έχω γράψει για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου.

Αν θέλεις να αποκτήσεις την έντυπη μορφή του, πάτησε εδώ.

Διάβαζε σωστά, διάβαζε αποδοτικά!

Η σωστή σειρά στην μελέτη, είναι η εξής:

1.  Διάβαζε προσεκτικά ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία των ασκήσεων

3.  Μελέτα προσεκτικά τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις

Αφού κάνεις τα παραπάνω -και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα- και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις! Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από την ενασχόλησή σου με ασκήσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.

Για να διευκολύνω την μελέτη σου, κάθε ebook ασχολείται με τα θέματα κάθε παραγράφου του σχολικού βιβλίου και περιλαμβάνει αναλυτική θεωρία και μεθοδολογία ασκήσεων (είναι τα βήματα 1 και 2 που προανέφερα) και αναλυτικά λυμένες ασκήσεις (είναι το βήμα 3).

Κάνε σημειώσεις στο σχολικό βιβλίο

Έχω εμπλουτίσει το σχολικό βιβλίο με πολύ χρήσιμες σημειώσεις που σε συμβουλεύω να κάνεις, διότι θα ξέρεις ποια σημεία είναι σημαντικά, στην θεωρία και τις ασκήσεις.

Πάτησε στην εικόνα του για να δεις και να κάνεις τις σημειώσεις στο βιβλίο σου.

Περιεχόμενα του κεφαλαίου

Το κεφάλαιο αποτελείται από έξι παραγράφους:

Πάτησε στην παράγραφο που σε ενδιαφέρει για να διαβάσεις ό,τι έχει ετοιμάσει για σένα το «Μαθηματικό στέκι».

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Τα ebooks που θα διαβάσεις προέρχονται από το ενιαίο βιβλίο που έχω γράψει για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου και δεν διατίθενται μεμονωμένα σε έντυπη μορφή.

Μόνο όλο το βιβλίο διατίθεται, προαιρετικά, σε έγχρωμη έντυπη μορφή.

Παράγραφος  1  -  Η έννοια του διανύσματος

Στο ebook περιλαμβάνεται μόνο θεωρία, στην οποία θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ορισμούς στα διανύσματα:

τι είναι το διάνυσμα στην Γεωμετρία, πώς συμβολίζουμε ένα διάνυσμα, πότε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα... και άλλα πολλά.

Όλα αυτά τα στοιχεία θεωρίας θα δημιουργήσουν την βάση του κεφαλαίου, πάνω στην οποία θα στηριχθεί όλο το υπόλοιπο κεφάλαιο και, πολύ περισσότερο, η «καρδιά» του κεφαλαίου, που είναι η παράγραφος 4 (Συντεταγμένες στο επίπεδο).

Το ebook περιλαμβάνει ό,τι αναφέρεται στην παράγραφο 1.1 του σχολικού βιβλίου, πολύ καλύτερα ταξινομημένο και επεξηγημένο όμως.

Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 1 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 2 και 3.

Παράγραφος  2  -  Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Στο ebook περιλαμβάνεται μόνο θεωρία, στην οποία θα διαβάσεις για δύο βασικές πράξεις που γίνονται μεταξύ διανυσμάτων: την πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων.

Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.2 του σχολικού βιβλίου.

Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 2 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 1 και 3.

Παράγραφος  3  -  Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Στο ebook περιλαμβάνεται μόνο θεωρία και θα διαβάσεις για μία ακόμη βασική πράξη στα διανύσματα, που είναι το γινόμενο ενός αριθμού με ένα διάνυσμα.

Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.3 του σχολικού βιβλίου.

Οι ασκήσεις που θα δεις παρακάτω καλύπτουν τα θέματα των παραγράφων 1, 2 και 3.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  1

Η έννοια του διανύσματος

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Μέσα από τις 15 ασκήσεις του ebook θα δεις πώς τα θέματα θεωρίας των παραγράφων 1, 2 και 3 που προηγήθηκαν εμφανίζονται στις ασκήσεις.

Το είδος αυτών των ασκήσεων όμως συνήθως τίθεται εκτός εξεταστέας ύλης στα σχολεία, γι' αυτό επέλεξα μερικές πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις.

Παράγραφος  4  -  Συντεταγμένες στο επίπεδο

Η παράγραφος αυτή εγκαινιάζει το πιο «ζουμερό» κομμάτι του κεφαλαίου!

Πλέον μπαίνουν οι συντεταγμένες στο παιχνίδι και τα θέματα της θεωρίας που αναπτύχθηκαν στις παραγράφους 1, 2 και 3 αποκτούν διαφορετικό, πολύ καλύτερο τρόπο χειρισμού. Από εδώ και μετά είναι που και η Άλγεβρα μπαίνει πολύ δυναμικά στο παιχνίδι, σε κάθε βήμα και σε κάθε άσκηση σχεδόν.

Η παράγραφος 4 περιλαμβάνει τα θέματα που υπάρχουν στην παράγραφο 1.4 του σχολικού βιβλίου. Επειδή υπάρχουν πολλοί τύποι όμως, την έχω χωρίσει σε επιμέρους ebooks.

Σε κάθε ebook πρώτα αναλύεται η σχετική θεωρία - τύπος και δίνεται αναλυτική μεθοδολογία για τις ασκήσεις (όπου αυτό είναι απαραίτητο, διότι δεν χρειάζονται όλοι οι τύποι εκτενή ανάλυση).

Στην συνέχεια υπάρχουν αναλυτικά λυμένες ασκήσεις, ώστε να γίνει κατανοητό πότε και πώς χρησιμοποιείται ο τύπος για τον οποίο νωρίτερα έγινε ανάλυση στην θεωρία και μεθοδολογία.

Στην θεωρία θα διαβάσεις βασικά στοιχεία, όπως:

  • πώς συνδέονται οι συντεταγμένες του επιπέδου με τα διανύσματα.
  • πώς θα δουλέψεις με διάνυσμα που είναι παράλληλο στον άξονα x΄x ή στον άξονα y΄y.
  • πώς θα δουλέψεις την ισότητα διανυσμάτων, τα αντίθετα διανύσματα και το μηδενικό διάνυσμα.
  • πώς θα κάνεις τις πράξεις των διανυσμάτων που έμαθες στις παραγράφους 2 και 3.
  • πώς θα γράψεις ένα διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων διανυσμάτων.

Όλα τα παραπάνω θα δεις πώς θα τα αντιμετωπίσεις, όταν για τα διανύσματα έχεις συντεταγμένες.

Ως προς τις ασκήσεις, παρακάτω θα δεις αναλυτικά ποια θέματα αντιμετωπίζονται με την θεωρία και τους τύπους του πρώτου αυτού ebook.

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Κατηγορία ασκήσεων  2

Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων  |  Ισότητα διανυσμάτων  |  Αντίθετα διανύσματα  |  Μηδενικό διάνυσμα  |  Διάνυσμα παράλληλο στον άξονα x΄x ή στον άξονα y΄y  |  Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος, πώς αυτός συναντάται στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις σε αυτές.

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Κατηγορία ασκήσεων  3

Συντεταγμένες μέσου τμήματος

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος, πώς αυτός συναντάται στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις σε αυτές.

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Κατηγορία ασκήσεων  4

Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει το μέτρο ενός διανύσματος, πώς αυτός συναντάται στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις σε αυτές.

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Κατηγορία ασκήσεων  5

Μέτρο διανύσματος

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει την απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο (ισοδύναμα, ο τύπος δίνει το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος), πώς αυτός συναντάται στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις σε αυτές.

Περιλαμβάνονται 10 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Κατηγορία ασκήσεων  6

Απόσταση σημείων (μήκος ευθύγραμμου τμήματος)

Θα διαβάσεις για μία από τις πλέον βασικές συνθήκες στην θεωρία των διανυσμάτων, την συνθήκη παραλληλίας. Όπως και στα προηγούμενα ebooks της παραγράφου 4, υπάρχει εκτενής ανάλυση στην θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις.

Να προσέξεις πολύ τις λυμένες ασκήσεις που θα δεις, διότι είναι από τα αγαπημένα θέματα σε μια εξέταση. Οι 40 ασκήσεις του ebook είναι λυμένες βήμα προς βήμα και θα σου δείξουν πώς πρέπει να παρουσιάσεις και εσύ την λύση τέτοιας άσκησης.

Κατηγορία ασκήσεων  7

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Ομόρροπα/αντίρροπα διανύσματα

Συνευθειακά/μη συνευθειακά σημεία

Θα μάθεις για την γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x΄x και πώς θα την βρεις. Επίσης, θα μάθεις για τον συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος.

Στις 10 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις του ebook θα δεις πώς εμφανίζεται η γωνία ενός διανύσματος με τον άξονα x΄x και πώς θα λύσεις τέτοια άσκηση.

Κατηγορία ασκήσεων  8

Γωνία διανύσματος με τον άξονα x΄x

Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

Παράγραφος  5  -  Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Στο ebook αυτό γίνεται εκτενής ανάλυση της θεωρίας και θα διαβάσεις για μία ακόμη πράξη που γίνεται μεταξύ δύο διανυσμάτων, το εσωτερικό τους γινόμενο.

Πρόκειται για την πιο σημαντική παράγραφο του κεφαλαίου (στο σχολικό βιβλίο είναι η παράγραφος 1.5), αφού τα θέματά της δημιουργούν μια αρκετά πλούσια ποικιλία ασκήσεων.

Οι αναλυτικές παρατηρήσεις που θα διαβάσεις θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις πλήρως ό,τι αφορά το εσωτερικό γινόμενο.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ  9

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας σχεδόν κυριαρχούν στα θέματα που τίθενται στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις, όσον αφορά αυτό το κεφάλαιο. Γι' αυτό επέλεξα 65 πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις, τις οποίες θα δεις λυμένες βήμα προς βήμα.

Ένας άτυπος διαχωρισμός που γίνεται, είναι μεταξύ ασκήσεων στις οποίες δίνονται συντεταγμένες και σε εκείνες στις οποίες δεν δίνονται. Έτσι είναι ταξινομημένες και οι λυμένες ασκήσεις του ebook.

Σε βοηθούν όσα διαβάζεις;

Κοινοποίησε την σελίδα - βοήθησε και άλλους!

Παράγραφος  6  -  Γενικές ασκήσεις στα διανύσματα

Οι 30 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις του ebook θα σου δώσουν μια πολύ καλή γεύση από το ύφος των θεμάτων που μπαίνουν στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις.

Να τις προσέξεις όλες πολύ! Είναι λυμένες βήμα προς βήμα και, ταυτόχρονα, σου δείχνουν και πώς θα πρέπει και εσύ να παρουσιάσεις την λύση τέτοιας άσκησης.

Βιβλιογραφία - Πηγές ασκήσεων

Οι λυμένες ασκήσεις που διάβασες στα ebooks προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία του διαδικτύου. Μπορείς να τις δεις πατώντας στο πλαίσιο παρακάτω και σου συστήνω να αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου τα αρχεία που θα βρεις.

Δες τις πηγές των ασκήσεων του βιβλίου

1.  Θεόδωρος Παγώνης, Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 2015-2016

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2015/09/2015-16.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1RKswMy4t-d5pCgCDL8CmvbtIGg8K2ksH

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

1-15 , 33-34 , 40 , 42 , 49 , 51 , 74-75 , 79-80 , 83-85 , 87-88 , 106-110 , 118-120 , 174-175 , 182 , 184 , 186 , 281-335 , 366-390 ,

511-515 , 546-574 , 591-650.

2.  Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Β΄ Λυκείου, Διανύσματα­ - Ευθεία - ­Κύκλος, Αναλυτική θεωρία, 500 ασκήσεις

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2017/09/blog-post_16.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=16F2f1Cqn1w2i9uc6L8Z2a3gu5YYo5S7g

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

22 , 27-28 , 35 , 58-60 , 70-73 , 121-125 , 133-134 , 151-160 , 178 , 196-200 , 363 , 391-400 , 431 , 434 , 503-510 , 531.

3.  Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου, 210 ενδοσχολικά θέματα

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2018/04/blog-post_20.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=11wuT3uBBr3WIsXBgVTFAoBPduEbaRX_I

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

201 , 203-230 , 432-433 , 435 , 532-545.

4.  Ν. Σ. Μαυρογιάννης, Τάξη Β΄, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Πειραματικό Λύκειο της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης, Σχολικό έτος 2007-2008

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://www.nsmavrogiannis.gr/notes%20etc/notesa.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1CQiJohyk2d_YSySPubauQVPtikC_AuMo

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

37-38 , 53 , 67-68 , 81 , 148-150 , 231-260 , 336-342 , 356-358 , 436-442.

5.  Τράπεζα Θεμάτων Υπουργείου Παιδείας

202.

6.  Προσωπικό αρχείο και ιδιοκατασκευές του συγγραφέα

16-20 , 23-26 , 29-30 , 31-32 , 39 , 41 , 43-45 , 46-48 , 50 , 52 , 54-57 , 61-66 , 69 , 76-78 , 82 , 86 , 89-105 , 111-117 , 126-132 ,

136-147 , 161-173 , 176-177 , 179-181 , 183 , 185-195 , 261-280 , 343-355 , 359-362 , 364-365 , 401-430 , 443-475 , 476-500 ,

501-502 , 516-530 , 575-590.

Το προσωπικό μου αρχείο αποτελείται από παλιά μου φυλλάδια και φωτοτυπίες που είχα συλλέξει από σχολικά φυλλάδια, φροντιστηριακά φυλλάδια και σημειώσεις άλλων καθηγητών (όχι διαδικτυακές) στο παρελθόν. Η προέλευση των ασκήσεων αυτών δεν μου είναι γνωστή.

Χρειάζεσαι βοήθεια σε κάποιο άλλο μάθημα;

>