Το κεφάλαιο των διανυσμάτων είναι το πρώτο κεφάλαιο της Αναλυτικής Γεωμετρίας (στην Ελλάδα την αποκαλούμε «Μαθηματικά Προσανατολισμού» και είναι μεγάλο λάθος, αφού απομακρύνει τον μαθητή από το αντικείμενο του μαθήματος), ενός μαθήματος που εισάγει νέους τρόπους αντιμετώπισης αρκετών γεωμετρικών θεμάτων.
Η έννοια του διανύσματος είναι γνωστή από την Φυσική (κλασικό παράδειγμα, η ταχύτητα ενός σώματος) και εδώ θα μάθεις πώς τα διανύσματα βοηθούν στην αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων, με χρήση συντεταγμένων κυρίως.
Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες και ομάδες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.
Τι θα βρεις στο κεφάλαιο
Με τις σημειώσεις αυτές θα ξέρεις πού υπάρχουν ορισμοί, ποιες προτάσεις - ιδιότητες της θεωρίας είναι σημαντικές, ποιες είναι οι αποδείξεις προτάσεων - ιδιοτήτων.
Επειδή η θεωρία του σχολικού βιβλίου απαιτεί πολλές συμπληρώσεις και εξηγήσεις, στην αναλυτική θεωρία που έχω γράψει θα βρεις όσα χρειάζεσαι καλύτερα οργανωμένα, μαζί με αναλυτική μεθοδολογία για χαρακτηριστικά θέματα ασκήσεων.
Επειδή οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν για την κατανόηση των θεμάτων του κεφαλαίου, επέλεξα και έλυσα μερικές χαρακτηριστικές ασκήσεις, οι οποίες θα σου δώσουν μια καλύτερη εικόνα των θεμάτων του.
Οι 230 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε τρεις (3) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Η προέλευση κάθε άσκησης καταγράφεται στην βιβλιογραφία.
Στο τέλος του κεφαλαίου θα βρεις και 30 γενικές - επαναληπτικές - συνδυαστικές ασκήσεις στα διανύσματα.
Αναλυτικότατες λύσεις όλων των θεμάτων που αντιστοιχούν στo συγκεκριμένo κεφάλαιο. Η προσεκτική μελέτη τους θα σε βοηθήσει να αποβάλεις το άγχος και τον φόβο.
Περιεχόμενα κεφαλαίου
Διάλεξε αυτό που χρειάζεσαι.
Πώς να μελετάς σωστά και αποτελεσματικά
Διάβαζε με προσοχή ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία
Διάβαζε με προσοχή την μεθοδολογία των ασκήσεων
Μελέτα με προσοχή τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Αφού κάνεις τα παραπάνω (και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα) και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις!
Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από τις ασκήσεις που θα πιάσεις εσύ να λύσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.
Πρώτα να προετοιμάζεσαι σωστά, μετά να πιάνεις να λύσεις ασκήσεις!
Παράγραφος 1
Η έννοια του διανύσματος
Θεωρία
Στην παράγραφο αυτή θα βρεις μόνο θεωρία, στην οποία θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ορισμούς στα διανύσματα:
Τι είναι το διάνυσμα στην Γεωμετρία, πώς συμβολίζουμε ένα διάνυσμα, πότε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα... και άλλα πολλά.
Όλα αυτά τα στοιχεία θεωρίας θα δημιουργήσουν την βάση του κεφαλαίου, πάνω στην οποία θα στηριχθεί όλο το υπόλοιπο κεφάλαιο και, πολύ περισσότερο, η «καρδιά» του κεφαλαίου, που είναι η παράγραφος 4 (Συντεταγμένες στο επίπεδο).
Στην θεωρία θα διαβάσεις ό,τι αναφέρεται στην παράγραφο 1.1 του σχολικού βιβλίου, με πολύ καλύτερη ταξινόμηση και περισσότερες επεξηγήσεις όμως.
Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 1 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 2 και 3.
Παράγραφος 2
Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων
Θεωρία
Στην παράγραφο αυτή θα βρεις μόνο θεωρία, στην οποία θα διαβάσεις για δύο βασικές πράξεις που γίνονται μεταξύ διανυσμάτων: την πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων.
Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.2 του σχολικού βιβλίου.
Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 2 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 1 και 3.
Παράγραφος 3
Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Θεωρία
Στην θεωρία θα διαβάσεις για μία ακόμη βασική πράξη στα διανύσματα: το γινόμενο ενός αριθμού με ένα διάνυσμα.
Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.3 του σχολικού βιβλίου.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 1 ~ Η έννοια του διανύσματος. Πρόσθεση/αφαίρεση διανυσμάτων. Γινόμενο αριθμού με διάνυσμα.
15 ασκήσεις θα σε βοηθήσουν να δεις πώς τα θέματα θεωρίας των παραγράφων 1, 2 και 3 που προηγήθηκαν εμφανίζονται στις ασκήσεις.
Το είδος αυτών των ασκήσεων, όμως, σπανίως εμφανίζεται σε ασκήσεις, γι' αυτό επέλεξα μερικές πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις και έδωσα πολλές και αναλυτικές εξηγήσεις σε πολλά σημεία.
Παράγραφος 4
Συντεταγμένες στο επίπεδο
Θεωρία - Μεθοδολογία
Η παράγραφος αυτή εγκαινιάζει το πιο «ζουμερό» κομμάτι του κεφαλαίου.
Πλέον θα δεις πώς οι συντεταγμένες συνδέονται με τα διανύσματα και τα θέματα της θεωρίας που αναπτύχθηκαν στις παραγράφους 1, 2 και 3 θα αποκτήσουν διαφορετικό, πολύ καλύτερο τρόπο χειρισμού. Από εδώ και μετά είναι που και η Άλγεβρα μπαίνει πολύ δυναμικά στο παιχνίδι, σε κάθε βήμα και σε κάθε άσκηση σχεδόν.
Η παράγραφος 4 περιλαμβάνει τα θέματα που υπάρχουν στην παράγραφο 1.4 του σχολικού βιβλίου.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 2 ~ Συντεταγμένες στο επίπεδο
Για καλύτερη κατανόηση των τύπων που υπάρχουν στην θεωρία της παραγράφου 4, τους ταξινόμησα σε ομάδες.
1η ομάδα ~ Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων. Ισότητα διανυσμάτων. Αντίθετα διανύσματα. Μηδενικό διάνυσμα. Διάνυσμα παράλληλο στον άξονα x'x ή στον άξονα y'y. Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.
2η ομάδα ~ Συντεταγμένες μέσου τμήματος.
3η ομάδα ~ Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα.
4η ομάδα ~ Μέτρο διανύσματος.
5η ομάδα ~ Απόσταση σημείων.
6η ομάδα ~ Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων. Ομόρροπα/αντίρροπα διανύσματα. Συνευθειακά/μη συνευθειακά σημεία.
7η ομάδα ~ Γωνία διανύσματος με τον άξονα x'x. Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος.
Παράγραφος 5
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα μάθεις για μία ακόμη πράξη που γίνεται μεταξύ δύο διανυσμάτων: το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
Πρόκειται για την πιο σημαντική παράγραφο του κεφαλαίου (στο σχολικό βιβλίο είναι η παράγραφος 1.5), αφού τα θέματά της δημιουργούν μια αρκετά πλούσια ποικιλία ασκήσεων.
Οι αναλυτικές παρατηρήσεις που θα διαβάσεις θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις πλήρως ό,τι αφορά το εσωτερικό γινόμενο.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 3 ~ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Οι ασκήσεις αυτής της κατηγορίας σχεδόν κυριαρχούν στα θέματα που τίθενται στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις, όσον αφορά αυτό το κεφάλαιο. Γι' αυτό επέλεξα 65 πολύ χαρακτηριστικές ασκήσεις, τις οποίες θα δεις λυμένες βήμα προς βήμα.
Για να σε διευκολύνω, τις ταξινόμησα σε δύο ομάδες:
1η ομάδα - Δίνονται συντεταγμένες.
2η ομάδα - Δεν δίνονται συντεταγμένες.
Γενικές ασκήσεις στα διανύσματα
30 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις θα σου δώσουν μια πολύ καλή γεύση από το ύφος των θεμάτων που μπαίνουν στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις.
Να τις προσέξεις όλες πολύ! Είναι λυμένες βήμα προς βήμα και, ταυτοχρόνως, δείχνουν πώς θα πρέπει να παρουσιάσεις την λύση τέτοιας άσκησης.
Λύσεις ασκήσεων από την Τράπεζα Θεμάτων
Οι ασκήσεις προέρχονται από το 2ο θέμα της Τράπεζας.
Η μελέτη των λύσεων πρέπει να έχει τους εξής στόχους:
1. να κατανοείς τι γίνεται σε κάθε βήμα της λύσης.
2. να μπορείς να αναγνωρίζεις ποια στοιχεία της θεωρίας εμφανίζονται κατά την πορεία.
3. να μπορείς να αναγνωρίζεις χαρακτηριστικές μεθοδολογίες, όταν πρόκειται για θέμα το οποίο έχει συγκεκριμένο τρόπο αντιμετώπισης
Βιβλιογραφία - πηγές ασκήσεων
Οι λυμένες ασκήσεις που διάβασες στα e-books προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία του διαδικτύου. Μπορείς να τις δεις πατώντας στο πλαίσιο παρακάτω και σου συστήνω να αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου τα αρχεία που θα βρεις.
Η βιβλιογραφία καλύπτει όλες τις ασκήσεις που υπάρχουν στο βιβλίο που έγραψα για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β΄ Λυκείου, όχι μόνο του παρόντος κεφαλαίου.
1. Θεόδωρος Παγώνης, Β΄ Λυκείου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 2015 - 2016.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2015/09/2015-16.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=1RKswMy4t-d5pCgCDL8CmvbtIGg8K2ksH
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
1-15 , 33-34 , 40 , 42 , 49 , 51 , 74-75 , 79-80 , 83-85 , 87-88 , 106-110 , 118-120 , 174-175 , 182 , 184 , 186 , 281-335 , 366-390 ,
511-515 , 546-574 , 591-650.
2. Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Β΄ Λυκείου, Διανύσματα - Ευθεία - Κύκλος, Αναλυτική θεωρία, 500 ασκήσεις.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2017/09/blog-post_16.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=16F2f1Cqn1w2i9uc6L8Z2a3gu5YYo5S7g
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
22 , 27-28 , 35 , 58-60 , 70-73 , 121-125 , 133-134 , 151-160 , 178 , 196-200 ,363 , 391-400 , 431 , 434 , 503-510 , 531.
3. Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου, 210 ενδοσχολικά θέματα.
Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση
http://lisari.blogspot.gr/2018/04/blog-post_20.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=11wuT3uBBr3WIsXBgVTFAoBPduEbaRX_I
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
201 , 203-230 , 432-433 , 435 , 532-545.
4. Ν. Σ. Μαυρογιάννης, Τάξη Β΄, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Πειραματικό Λύκειο της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης, Σχολικό έτος 2007-2008.
Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση
http://www.nsmavrogiannis.gr/notes%20etc/notesa.html
Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:
https://drive.google.com/open?id=1CQiJohyk2d_YSySPubauQVPtikC_AuMo
Οι ασκήσεις που πήρα είναι οι ακόλουθες:
37-38 , 53 , 67-68 , 81 , 148-150 , 231-260 , 336-342 , 356-358 , 436-442.
5. Τράπεζα Θεμάτων Υπουργείου Παιδείας (παλαιότερη έκδοσή της).
202.
6. Προσωπικό αρχείο και ιδιοκατασκευές του συγγραφέα.
16-20 , 23-26 , 29-30 , 31-32 , 39 , 41 , 43-45 , 46-48 , 50 , 52 , 54-57 , 61-66 , 69 , 76-78 , 82 , 86 , 89-105 , 111-117 , 126-132 , 136-147 ,
161-173 , 176-177 , 179-181 , 183 , 185-195 , 261-280 , 343-355 , 359-362 , 364-365 ,401-430 , 443-475 , 476-500 , 501-502 , 516-530 ,
575-590.
Το προσωπικό μου αρχείο αποτελείται από παλιά μου φυλλάδια και φωτοτυπίες που είχα συλλέξει από σχολικά φυλλάδια, φροντιστηριακά φυλλάδια και σημειώσεις άλλων καθηγητών (όχι διαδικτυακές) στο παρελθόν. Η προέλευση των ασκήσεων αυτών δεν μου είναι γνωστή.