Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ – ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ – Κεφάλαιο 1 – Διανύσματα

Το κεφάλαιο των διανυσμάτων είναι το πρώτο κεφάλαιο της Αναλυτικής Γεωμετρίας (στην Ελλάδα την αποκαλούμε «Μαθηματικά Προσανατολισμού» και είναι μεγάλο λάθος, αφού απομακρύνει τον μαθητή από το αντικείμενο του μαθήματος), ενός μαθήματος που εισάγει νέους τρόπους αντιμετώπισης αρκετών γεωμετρικών θεμάτων.

Η έννοια του διανύσματος είναι γνωστή από την Φυσική (κλασικό παράδειγμα, η ταχύτητα ενός σώματος) και εδώ θα μάθεις πώς τα διανύσματα βοηθούν στην αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων, με χρήση συντεταγμένων κυρίως.

Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.

Οι 230 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε δέκα (10) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Η προέλευση κάθε άσκησης καταγράφεται στην βιβλιογραφία.

Όσα θα διαβάσεις προέρχονται από το βιβλίο που έχω γράψει για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β' Λυκείου, το οποίο όμως δεν θα διατεθεί σε έντυπη μορφή κατά το σχολικό έτος 2021-2022.

Πώς να μελετάς σωστά και αποτελεσματικά

Η σωστή σειρά στην μελέτη, είναι η εξής:

1.  Διάβαζε προσεκτικά ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία.

2.  Διάβαζε προσεκτικά την μεθοδολογία των ασκήσεων.

3.  Μελέτα προσεκτικά τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Αφού κάνεις τα παραπάνω -και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα- και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις!

Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από τις ασκήσεις που θα πιάσεις εσύ να λύσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.

Πρώτα να προετοιμάζεσαι σωστά,

μετά να πιάνεις να λύσεις ασκήσεις!

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1 ~ Η έννοια του διανύσματος

Στην παράγραφο αυτή θα βρεις μόνο θεωρία, στην οποία θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ορισμούς στα διανύσματα:

τι είναι το διάνυσμα στην Γεωμετρία, πώς συμβολίζουμε ένα διάνυσμα, πότε δύο διανύσματα είναι παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα... και άλλα πολλά.

Όλα αυτά τα στοιχεία θεωρίας θα δημιουργήσουν την βάση του κεφαλαίου, πάνω στην οποία θα στηριχθεί όλο το υπόλοιπο κεφάλαιο και, πολύ περισσότερο, η «καρδιά» του κεφαλαίου, που είναι η παράγραφος 4  (Συντεταγμένες στο επίπεδο).

Στην θεωρία θα διαβάσεις ό,τι αναφέρεται στην παράγραφο 1.1 του σχολικού βιβλίου, με πολύ καλύτερη ταξινόμηση και περισσότερες επεξηγήσεις όμως.

Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 1 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 2 και 3.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 2 ~ Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Στην παράγραφο αυτή θα βρεις μόνο θεωρία, στην οποία θα διαβάσεις για δύο βασικές πράξεις που γίνονται μεταξύ διανυσμάτων: την πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων.

Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.2 του σχολικού βιβλίου.

Ασκήσεις για τα θέματα της παραγράφου 2 θα βρεις στην παράγραφο 3, μαζί με τα θέματα των παραγράφων 1 και 3.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3 ~ Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

  • Θεωρία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα διαβάσεις για μία ακόμη βασική πράξη στα διανύσματα: το γινόμενο ενός αριθμού με ένα διάνυσμα.

Τα στοιχεία θεωρίας αφορούν όσα αναφέρονται στην παράγραφο 1.3 του σχολικού βιβλίου.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4 ~ Συντεταγμένες στο επίπεδο

Η παράγραφος αυτή εγκαινιάζει το πιο «ζουμερό» κομμάτι του κεφαλαίου.

Πλέον μπαίνουν οι συντεταγμένες στο παιχνίδι και τα θέματα της θεωρίας που αναπτύχθηκαν στις παραγράφους 1, 2 και 3 αποκτούν διαφορετικό, πολύ καλύτερο τρόπο χειρισμού. Από εδώ και μετά είναι που και η Άλγεβρα μπαίνει πολύ δυναμικά στο παιχνίδι, σε κάθε βήμα και σε κάθε άσκηση σχεδόν.

Η παράγραφος 4 περιλαμβάνει τα θέματα που υπάρχουν στην παράγραφο 1.4 του σχολικού βιβλίου. Επειδή υπάρχουν πολλοί τύποι όμως, την έχω χωρίσει σε επιμέρους ebooks.

Σε κάθε ebook πρώτα αναλύεται η σχετική θεωρία και ο τύπος που χρησιμοποιείται και δίνεται αναλυτική μεθοδολογία για τις ασκήσεις (όπου αυτό είναι απαραίτητο, διότι δεν χρειάζονται όλοι οι τύποι εκτενή ανάλυση).

Στην συνέχεια υπάρχουν αναλυτικά λυμένες ασκήσεις, ώστε να γίνει κατανοητό πότε και πώς χρησιμοποιείται ο τύπος για τον οποίο νωρίτερα έγινε ανάλυση στην θεωρία και μεθοδολογία.

ΘΕΜΑ 1 ~ Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων. Ισότητα διανυσμάτων. Αντίθετα διανύσματα. Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Στην θεωρία θα διαβάσεις βασικά στοιχεία, όπως:

α)  πώς συνδέονται οι συντεταγμένες του επιπέδου με τα διανύσματα.

β)  πώς θα δουλέψεις με διάνυσμα που είναι παράλληλο στον άξονα x'x ή στον άξονα y'y.

γ)  πώς θα δουλέψεις την ισότητα διανυσμάτων, τα αντίθετα διανύσματα και το μηδενικό διάνυσμα.

δ)  πώς θα κάνεις τις πράξεις των διανυσμάτων που έμαθες στις παραγράφους 2 και 3.

ε)  πώς θα γράψεις ένα διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων διανυσμάτων.

Όλα τα παραπάνω θα δεις πώς θα τα αντιμετωπίσεις, όταν για τα διανύσματα έχεις συντεταγμένες.

Στις ασκήσεις θα δεις αναλυτικά ποια θέματα αντιμετωπίζονται με την θεωρία και τους τύπους που αναλύθηκαν.

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2

•  Πράξεις διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων

•  Ισότητα διανυσμάτων

•  Αντίθετα διανύσματα

•  Μηδενικό διάνυσμα

•  Διάνυσμα παράλληλο στον άξονα x'x ή στον άξονα y'y

•  Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

ΘΕΜΑ 2 ~ Συντεταγμένες μέσου τμήματος

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος, πώς θα τον συναντάς στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3

 Συντεταγμένες μέσου τμήματος

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

ΘΕΜΑ 3 ~ Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των άκρων του. Θα δεις πώς θα συναντάς αυτόν τον τύπο στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 4

 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

ΘΕΜΑ 4 ~ Μέτρο διανύσματος

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει το μέτρο ενός διανύσματος με γνωστές συντεταγμένες, πώς θα τον συναντάς στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5

  Μέτρο διανύσματος

Περιλαμβάνονται 15 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

Χρειάζεσαι βοήθεια;

Αν δυσκολευτείς σε κάποια άσκηση ή στην θεωρία, μην ξεχνάς ότι είμαι εδώ για να σε βοηθήσω!

ΘΕΜΑ 5 ~ Απόσταση σημείων (μήκος ευθύγραμμου τμήματος)

Θα μάθεις τον τύπο που δίνει την απόσταση δύο σημείων στο επίπεδο (ισοδύναμα, ο τύπος δίνει το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος), πώς θα τον συναντάς στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6

  Απόσταση σημείων (μήκος ευθύγραμμου τμήματος)

Περιλαμβάνονται 10 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις.

ΘΕΜΑ 6 ~ Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Θα διαβάσεις για μία από τις πλέον βασικές συνθήκες στην θεωρία των διανυσμάτων, την συνθήκη παραλληλίας. Όπως και στα προηγούμενα ebooks της παραγράφου 4, υπάρχει εκτενής ανάλυση στην θεωρία και μεθοδολογία για τις ασκήσεις.

Να προσέξεις πολύ τις λυμένες ασκήσεις που θα δεις, διότι είναι από τα αγαπημένα θέματα σε μια εξέταση. Οι 40 ασκήσεις του ebook είναι λυμένες βήμα προς βήμα και θα σου δείξουν πώς πρέπει να παρουσιάσεις και εσύ την λύση τέτοιας άσκησης.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 7

  Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

 Ομόρροπα/αντίρροπα διανύσματα

  Συνευθειακά/μη συνευθειακά σημεία

ΘΕΜΑ 7 ~ Γωνία διανύσματος με τον άξονα x'x

Θα μάθεις για την γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x'x και πώς θα την βρεις. Επίσης, θα μάθεις για τον συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος. Όλα αυτά, στην συνέχεια, θα δεις πώς εμφανίζονται στις ασκήσεις και πώς θα δουλέψεις.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 8

  Γωνία διανύσματος με τον άξονα x'x

  Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

Περιλαμβάνονται 10 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 5 ~ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

  • Θεωρία

  • Ασκήσεις

Στην θεωρία θα μάθεις για μία ακόμη πράξη που γίνεται μεταξύ δύο διανυσμάτων: το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Πρόκειται για την πιο σημαντική παράγραφο του κεφαλαίου (στο σχολικό βιβλίο είναι η παράγραφος 1.5), αφού τα θέματά της δημιουργούν μια αρκετά πλούσια ποικιλία ασκήσεων.

Οι αναλυτικές παρατηρήσεις που θα διαβάσεις θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις πλήρως ό,τι αφορά το εσωτερικό γινόμενο.

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 6 ~ Γενικές ασκήσεις στα διανύσματα

30 αναλυτικά λυμένες ασκήσεις θα σου δώσουν μια πολύ καλή γεύση από το ύφος των θεμάτων που μπαίνουν στα διαγωνίσματα και τις τελικές εξετάσεις.

Να τις προσέξεις όλες πολύ! Είναι λυμένες βήμα προς βήμα και, ταυτόχρονα, σου δείχνουν και πώς θα πρέπει και εσύ να παρουσιάσεις την λύση τέτοιας άσκησης.

Βιβλιογραφία - Πηγές ασκήσεων

Οι λυμένες ασκήσεις που διάβασες στα ebooks προέρχονται από συλλογές ασκήσεων και βιβλία του διαδικτύου. Μπορείς να τις δεις πατώντας στο πλαίσιο παρακάτω και σου συστήνω να αποθηκεύσεις στον υπολογιστή σου τα αρχεία που θα βρεις.

Δες τις πηγές των ασκήσεων του βιβλίου

1.  Θεόδωρος Παγώνης, Β Λυκείου, Μαθηματικά Κατεύθυνσης, 2015-2016

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2015/09/2015-16.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1RKswMy4t-d5pCgCDL8CmvbtIGg8K2ksH

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

1-15 , 33-34 , 40 , 42 , 49 , 51 , 74-75 , 79-80 , 83-85 , 87-88 , 106-110 ,

118-120 , 174-175 , 182 , 184 , 186 , 281-335 , 366-390 , 511-515 , 546-574 ,

591-650.

2.  Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Β Λυκείου, Διανύσματα­ - Ευθεία ­Κύκλος, Αναλυτική θεωρία, 500 ασκήσεις

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2017/09/blog-post_16.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=16F2f1Cqn1w2i9uc6L8Z2a3gu5YYo5S7g

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

22 , 27-28 , 35 , 58-60 , 70-73 , 121-125 , 133-134 , 151-160 , 178 , 196-200 ,

363 , 391-400 , 431 , 434 , 503-510 , 531.

3.  Νίκος Κ. Ράπτης, Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου, 210 ενδοσχολικά θέματα

Το βιβλίο το βρήκα στην διεύθυνση

http://lisari.blogspot.gr/2018/04/blog-post_20.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=11wuT3uBBr3WIsXBgVTFAoBPduEbaRX_I

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

201 , 203-230 , 432-433 , 435 , 532-545.

4.  Ν. Σ. Μαυρογιάννης, Τάξη Β, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Πειραματικό Λύκειο της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης, Σχολικό έτος 2007-2008

Το φυλλάδιο το βρήκα στην διεύθυνση

http://www.nsmavrogiannis.gr/notes%20etc/notesa.html

Αν δεν το βρεις στην παραπάνω διεύθυνση (και μόνο τότε), υπάρχει και εδώ:

https://drive.google.com/open?id=1CQiJohyk2d_YSySPubauQVPtikC_AuMo

Οι ασκήσεις που αντλήθηκαν είναι οι ακόλουθες:

37-38 , 53 , 67-68 , 81 , 148-150 , 231-260 , 336-342 , 356-358 , 436-442.

5.  Τράπεζα Θεμάτων Υπουργείου Παιδείας

202.

6.  Προσωπικό αρχείο και ιδιοκατασκευές του συγγραφέα

16-20 , 23-26 , 29-30 , 31-32 , 39 , 41 , 43-45 , 46-48 , 50 , 52 , 54-57 , 61-66 ,

69 , 76-78 , 82 , 86 , 89-105 , 111-117 , 126-132 , 136-147 , 161-173 ,

176-177 , 179-181 , 183 , 185-195 , 261-280 , 343-355 , 359-362 , 364-365 ,

401-430 , 443-475 , 476-500 , 501-502 , 516-530 , 575-590.

Το προσωπικό μου αρχείο αποτελείται από παλιά μου φυλλάδια και φωτοτυπίες που είχα συλλέξει από σχολικά φυλλάδια, φροντιστηριακά φυλλάδια και σημειώσεις άλλων καθηγητών (όχι διαδικτυακές) στο παρελθόν. Η προέλευση των ασκήσεων αυτών δεν μου είναι γνωστή.

>
Success message!
Warning message!
Error message!