«Ξαδέρφια» των εξισώσεων, τα συστήματα είναι το πρώτο από τα πολλά και σημαντικά θέματα που διδάσκονται στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου.
Όπως μία εξίσωση απαντάει στο ερώτημα «Για ποιες τιμές του αγνώστου ισχύει μία ισότητα;», τα συστήματα απαντούν σε ανάλογη ερώτηση: «Για ποιες τιμές των αγνώστων ισχύουν ταυτοχρόνως όλες οι ισότητες;».
Στο κεφάλαιο αυτό θα μάθεις πώς να λύνεις συστήματα, κυρίως δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (θα δεις και άλλες περιπτώσεις όμως).
Η μεθοδολογία για τις ασκήσεις είναι αναλυτικότατη και οι ασκήσεις ταξινομούνται σε κατηγορίες, κάτι που θα διευκολύνει πολύ την μελέτη σου.
Κάθε παράγραφος περιλαμβάνει:
Με τις σημειώσεις αυτές θα ξέρεις πού υπάρχουν ορισμοί, ποιες προτάσεις - ιδιότητες της θεωρίας είναι σημαντικές, ποιες είναι οι αποδείξεις προτάσεων - ιδιοτήτων. Επίσης, θα ξέρεις ποιες από τις ασκήσεις του είναι βασικές και πρέπει να μπορείς να λύνεις με άνεση.
Επειδή η θεωρία του σχολικού βιβλίου απαιτεί πολλές συμπληρώσεις και εξηγήσεις, στην αναλυτική θεωρία που έχω γράψει θα βρεις όσα χρειάζεσαι καλύτερα οργανωμένα, μαζί με αναλυτική μεθοδολογία για χαρακτηριστικά θέματα ασκήσεων.
Επειδή οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου δεν επαρκούν για την κατανόηση των θεμάτων της παραγράφου, επέλεξα και έλυσα μερικές χαρακτηριστικές ασκήσεις, οι οποίες θα σου δώσουν μια καλύτερη εικόνα των θεμάτων της παραγράφου. Με την σωστή ταξινόμηση που θα δεις, θα κατανοήσεις καλύτερα όσα πρέπει να γνωρίζεις.
Οι 100 λυμένες ασκήσεις του κεφαλαίου ταξινομήθηκαν σε τρεις (3) κατηγορίες και το θέμα κάθε κατηγορίας θα το βλέπεις στην περιγραφή που θα υπάρχει γι' αυτήν. Όσων ασκήσεων γνώριζα την προέλευση, την κατέγραψα στην εκφώνησή της, ενώ σε όσες δεν δεις αναφορά, η προέλευση μού είναι άγνωστη ή προέρχεται από το προσωπικό μου αρχείο.
Περιεχόμενα κεφαλαίου
Διάλεξε αυτό που χρειάζεσαι.
Πώς να μελετάς σωστά και αποτελεσματικά
Διάβαζε με προσοχή ό,τι περιλαμβάνει η θεωρία
Διάβαζε με προσοχή την μεθοδολογία των ασκήσεων
Μελέτα με προσοχή τις αναλυτικά λυμένες ασκήσεις
Αφού κάνεις τα παραπάνω (και με την σειρά που τα έγραψα, χωρίς να παραλείψεις κάποιο βήμα) και προετοιμαστείς σωστά, μετά πιάσε να λύσεις ασκήσεις!
Αν παραλείψεις κάποιο από τα παραπάνω βήματα ή αλλάξεις την σειρά, τότε τα αποτελέσματα από τις ασκήσεις που θα πιάσεις εσύ να λύσεις μάλλον δεν θα είναι αυτά που θα ήθελες.
Πρώτα να προετοιμάζεσαι σωστά, μετά να πιάνεις να λύσεις ασκήσεις!
Παράγραφος 1.1
Γραμμικά συστήματα
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα δεις και θα μάθεις:
α) υπενθυμίσεις για τις συντεταγμένες σημείων, βασικές συμμετρίες σημείων και την απόσταση δύο σημείων.
β) υπενθυμίσεις σε βασικά στοιχεία για την εξίσωση ευθείας και τις ευθείες γενικώς, αφού είναι θέματα που θα συναντήσεις σε ασκήσεις του κεφαλαίου.
γ) υπενθυμίσεις της μεθόδου της αντικατάστασης και της μεθόδου των αντίθετων συντελεστών, που είναι οι δύο κυριότεροι τρόποι με τους οποίους θα λύσεις ένα γραμμικό σύστημα 2x2.
δ) μία νέα μέθοδο επίλυσης γραμμικών συστημάτων 2x2, την μέθοδο των οριζουσών.
ε) πώς θα λύσεις/κάνεις διερεύνηση σε ένα παραμετρικό γραμμικό σύστημα 2x2 με την μέθοδο των οριζουσών.
στ) πώς θα λύσεις ένα γραμμικό σύστημα 3x3.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 1 ~ Γραμμικά συστήματα 2x2
Θα δεις πώς λύνεται ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, η οποία πρέπει να είναι η πρώτη σου σκέψη. Θα δεις πώς λύνεται και με την μέθοδο της αντικατάστασης, αλλά σε πολύ μικρότερο βαθμό.
Οι 20 ασκήσεις που θα δεις είναι ουσιαστικά επανάληψη σε θέματα που είδες στην Γ' Γυμνασίου.
Σου συστήνω να δεις επιπλέον λυμένες ασκήσεις πατώντας εδώ. Θα τις βρεις στην ενότητα 9.
Κατηγορία 2 ~ Λύση και διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2x2
Μέσα από 20 ασκήσεις θα δεις πώς λύνεται ένα σύστημα με την μέθοδο των οριζουσών.
Μεγαλύτερη βαρύτητα δίνεται στα παραμετρικά γραμμικά συστήματα 2x2 και πώς θα κάνεις διερεύνηση σε τέτοιο σύστημα.
Παράγραφος 1.2
Μη γραμμικά συστήματα
Θεωρία - Μεθοδολογία
Στην θεωρία θα μάθεις πώς θα λύσεις ένα μη γραμμικό σύστημα 2x2.
Τα συστήματα αυτά είναι πιο απαιτητικά σε σχέση με τα γραμμικά, άρα απαιτούν περισσότερη προσοχή κατά την διαδικασία επίλυσής τους.
Επίσης, θα διαβάσεις μερικές σημαντικές παρατηρήσεις στα συστήματα γενικώς, όπως:
α) πώς θα λύσεις ένα σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους (σύνηθες φαινόμενο στις ασκήσεις).
β) πώς θα λύσεις ένα σύστημα στο οποίο οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους.
γ) πώς τα συστήματα, γραμμικά και μη, δίνουν απάντηση σε χαρακτηριστικά γεωμετρικά προβλήματα.
Λυμένες ασκήσεις
Οι ασκήσεις της παραγράφου ταξινομήθηκαν στις ακόλουθες κατηγορίες.
Κατηγορία 3 ~ Μη γραμμικά συστήματα
Μέσα από 25 ασκήσεις θα δεις πώς λύνεται ένα μη γραμμικό σύστημα.
Να προσέξεις πολύ τις ασκήσεις αυτές, διότι τέτοια συστήματα δεν έχουν σταθερή μέθοδο επίλυσης και κρύβουν εκπλήξεις πολλές φορές. Ναι μεν η μέθοδος της αντικατάστασης είναι η κύρια μέθοδος επίλυσής τους (και αυτή πρέπει να είναι η πρώτη σου σκέψη), αλλά το πώς θα λύσεις ένα μη γραμμικό σύστημα εξαρτάται από την μορφή των εξισώσεών του.
Γενικές ασκήσεις στα συστήματα
35 λυμένες ασκήσεις θα σου δώσουν μία γεύση από τα αποκαλούμενα «συνδυαστικά θέματα».
Να προσέξεις αυτές τις ασκήσεις, διότι:
α) είναι θέματα που κάλλιστα μπορεί να δεις σε διαγώνισμα στο σχολείο.
β) θα σε βοηθήσουν πολύ στο να αναπτύξεις το συνδυαστικό πνεύμα στην σκέψη, κάτι που είναι εντελώς απαραίτητο και σημαντικό.